Wie kann man diese Ähnlichkeits-DG lösen?

Question

ich bin gerade dabei diese DG zu lösen:

$$y'=\frac{y(y^2+x^2)}{x^3}$$

Ich habe versucht die DG über das Ähnlichkeitsverfahren zu lösen, aber das leider nicht funktioniert, ich komme zumindest nicht auf die richtige Lösung: $$y=+-\frac{x}{\sqrt{c-ln(x^2)}}$$

Das war bisher der Ansatz, den ich verfolgt habe:

$$a=y^2+x^2$$

$$=>y=\sqrt{a-x^2}=>y'=\frac{a'-2x}{\sqrt{a-x^2}}$$

Könnt ihr mir vielleicht sagen, was ich falsch gemacht habe und wie es richtig lauten muss?

VG:)

Answer 1

Aloha :)

Wir formen die rechte Seite zunächst ein wenig um:$$y'=\frac{y(y^2+x^2)}{x^3}=\frac{y^3+yx^2}{x^3}=\left(\frac{y}{x}\right)^3+\left(\frac{y}{x}\right)$$Substituieren wir nun \(z\coloneqq\frac{y}{x}\), so ist \(y=xz\) bzw. \(y'=z+xz'\). Das heißt:$$\left.z+xz'=z^3+z\quad\right|\quad-z$$$$\left.xz'=z^3\quad\right|\quad :\;(xz^3)$$$$\left.\frac{z'}{z^3}=\frac{1}{x}\quad\right|\quad z'=\frac{dz}{dx}$$$$\left.\frac{1}{z^3}\,\frac{dz}{dx}=\frac{1}{x}\quad\right|\quad\cdot dx$$$$\left.\frac{dz}{z^3}=\frac{dx}{x}\quad\right|\quad\text{integrieren}$$$$\left.-\frac{1}{2z^2}=\ln|x|+c_1\quad\right|\quad c_1\coloneqq\text{const}\quad;\quad\text{Kehrwerte}$$$$\left.-2z^2=\frac{1}{\ln|x|+c_1}\quad\right|\quad z=\frac{y}{x}\text{ einsetzen}$$$$\left.-2\frac{y^2}{x^2}=\frac{1}{\ln|x|+c_1}\quad\right|\quad\cdot\left(-\frac{x^2}{2}\right)$$$$\left.y^2=\frac{x^2}{-2(\ln|x|+c_1)}=\frac{x^2}{-2c_1-2\ln|x|}=\frac{x^2}{c-\ln(x^2)}\quad\right|\quad c\coloneqq-2c_1\quad;\quad\sqrt{\cdots}$$$$\left.y=\pm\frac{x}{\sqrt{c-\ln(x^2)}}\quad\right.$$

Comments

Vielen lieben Dank für deine ausführliche Antwort, dass hilft mir sehr:)