Konvergiert diese Reihe oder divergiert sie?

Question

Aufgabe:

Konvergiert die reihe

\( \sum \limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(i+1)^{2}-1} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe es mit dem quotientenkriterium versucht, dann kam aber 1 als lösung...

Welches kriterium wäre hier geeignet?

Answer 1

Zunächst sollte man erkennen, dass:$$\sum \limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^2-1}=\sum \limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2+2i}=\sum \limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i(i+2)}$$ Dann machst du eine Partialbruchzerlegung:$$=\sum \limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2i}-\frac{1}{2(i+2)}$$ Schreib mal ein paar Summanden hin, cancelt sich da etwas weg und kannst du vielleicht sogar den Wert der Reihe angeben?

Comments

Ja zb 1/6 und 1/8... was mache ich jetzt daraus?

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Schon mal etwas von einer Teleskopreihe gehört?

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Ja, nur verstehe ich sie nicht

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Dann schau vielleicht mal hier.

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Habe es glaube ich, kommt da 1/2 raus?

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Sollte 3/4 rauskommen.

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Hab den fehler jetzt gefunden, danke.