Lösen durch vollständige Induktion:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:

Ist x ≠ 1, so gilt für alle n ≥ 0:

(x+1)*(x^2+1)*(x^4+1)*(x^8+1)*...*(x^2^n+1) = ((x^2^(n+1))-1)/(x-1)

Answer 1

Der Induktionsanfang mit \( n = 0\) sollte klar sein, oder?

$$ \prod_{k=0}^{n+1} \left( x^{2^k}+1 \right) = \prod_{k=0}^{n} \left( x^{2^k}+1 \right) \left( x^{2^{n+1}}+1 \right) = \frac{ x^{2^{n+1}}-1 }{x-1} \left( x^{2^{n+1}}+1 \right) =  \frac{ x^{2^{n+2}}-1 }{x-1} $$