Wie lautet die Gleichung der Parabel? See und Stichkanal

Question

Aufgabe:

Vom See geht ein Stichkanal aus, dessen Verlauf für \( 2<x<8 \) durch die Funktion \( f(x)=6 \) beschrieben werden kann. Der Stichkanal soll ohne Knick durch einen Bogen weitergeführt werden, der durch eine zur y-Achse symmetrische quadratische Parabel \( g(x)=a x^{2}+b x+c \) modelliert werden kann.

a) Wie lautet die Gleichung der Parabel?

b) Unter welchem Winkel unterquert der neue Kanal die von Westen nach Osten verlaufende Straße?

c) Südlich der Straße soll der Kanal geradlinig weitergeführt werden. Wie lautet die Gleichung des Kanals in diesem Bereich (Funktion h)?

Trifft die Weiterführung des Kanals auf die Stadt S(-6 | -9)?

Comments

Aufgabe b)

Du musst erst einmal x, also den Schnittpunkt von neuem Kanal und Straße bestimmen. dann g' von diesem Punkt und anschließend den arctan.

Die Straße ist die x-Achse, also suchst du die linke Nullstelle der Parabel.

\(-\frac{3}{8}x^2+4,5=0\\-\frac{3}{8}x^2=-4,5\\x^2=12\\ x=\pm3,46\)

Jetzt g'(-3,46) berechnen:

\(g'(x)=-\frac{3}{4}x\\g'(-3,46)=2,6\\ \text{arctan}(2,6)=68,96°\)

Die Lösung zu c) ist

h(x) = 2,6x + 9

Die Lösung zu d)

h(-6) = 2,6 · (-6) + 9 = - 6,6

Der Kanal trifft also nicht auf die Stadt.

c)

\(h'(x)=g'(x)\\\\h'(-3,46)=2,6\\h(x)=2,6x+b\\ 0=2,6\cdot(-3,46)+b\\0=-9+b\\9=b\\\Rightarrow h(x)=2,6x+9\)

Die Rechnung zu d steht schon da: h(-6)...

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1 Frage: Wie kommt man aber bei Aufgabe b)  auf -3,46 davor stand ja 3,46 von wo kommt dss minus zeichen?

2 Frage: wie kommt man auf -¾x und danach auf 2,6?

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1. Antwort:

\( \sqrt{12}=x^2 \)

also ist \(x=3,46 \quad oder -3,46\)

Uns interessiert aber nur die linke Nullstelle, also - 3,46

2. Antwort:

\(g(x)=-\frac{3}{8}x^2+4,5\\g'(x)=-\frac{3}{8}\cdot 2x=-\frac{6}{8}x=-\frac{3}{4}x\\ g'(-3,46)=-\frac{3}{4}\cdot(-3,46)=2,595\approx2,6\)

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Eine frage hätte ich noch was ist arctan weil das hatte ich noch nie in der Schule. Gibt es einen alternative Rechnung weil das mit arctan hatte ich noch nie

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Nein, merke dir für die Zukunft, dass der Tangenswert der Steigung einer Geraden entspricht. Ist die Steigung gegeben, wie hier die 2,6, kannst du mit dem arctan (\(tan^{-1}\) im Taschenrechner) den Winkel berechnen.

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Also bei a) wundere ich mich, wie du g'(2)=-1,5 kommst. Da brauchst du doch eine Rechnung... Was hast du denn für a und b eingesetzt?

Genau das gleiche mit g(2)=3

b) Das verstehe ich leider gar nicht. Du sollst da doch einen Winkel berechnen. Du stellst aber nach x frei. Einen Winkel berechnest du nicht oder täusche ich mich da?

Bei c) würde ich der Vollständigkeit halber h'(x) einmal aufschreiben. Wieso ist h'(x) =g'(x)? Kannst du das erklären?

Und wie ist 0=-9???

Bei d) ist dein Ansatz sicherlich richtig. Aber wo kommt h(6)=g(2,6)+g=-6,6 her? Zumindest ich verstehe es nicht...

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Wie lautet die Funktion also ohne zahlen. Weil meine Lehrerin sagt immer ihr müsst die volle Funktion schreiben nicht direkt einsetzten

Aha. Das erschließt sich mir zwar nicht, aber bitte.

Die Funktion ist symmetrisch zur y-Achse und hat deshalb die allgemeine Form

$$f(x)=ax^2+c$$

Von dieser Funktion werden die Nullstellen gesucht.

$$ax^2+c=0\\ ax^2=-c\\ x^2=-\frac{c}{x}\\x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$$

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Vom Duplikat:

Titel: (Rekonstruktion von Funktionen) Kanal

Stichworte: rekonstruktion,parabel,gleichungen

Diese Aufgabe gilt nur als vorbereitung und ist freiwillig.

Aufgabe:

20. Kanal
Vom See geht ein Stichkanal aus, dessen Verlauf für \( 2<x<8 \) durch die Funktion \( f(x)=6 \) werden, der durch eine zur y-Achse symmetrische auadratische Parabel \( g(x)=a x^{2}+b x+c \) modelliert werden \( k a n n \)
a) Wie lautet die Gleichung der Parabel?
b) Unter welchem Winkel anterquert der neue Kanal die vory Westen nach Osten verlaufende Straße?
c) Südlich der Straße soll der Kanal geradlinig weitergeführt werden. Wie lautet die Gleichung des Kanals in diesem Bereich (Funktion h)?
diesem Bereich (Funktion des Kanals auf die Stadt \( S(-6 \mid-9) \) ?

Answer 1

a) Wie lautet die Gleichung der Parabel?

f(x) = 6/x = 6·x^(- 1)
f'(x) = - 6·x^(- 2) = - 6/x^2

f(2) = 6/2 = 3
f'(2) = - 6/2^2 = - 6/4 = - 1.5

g(x) = a·x^2 + c <-- Das b entfällt wegen der Achsensymmetrie.
g'(x) = 2·a·x

g(2) = 3 | 4·a + c = 3
g'(2) = - 1.5 | 4·a = - 1.5

4·a = - 1.5 → a = - 0.375
4·(- 0.375) + c = 3 → c = 4.5

g(x) = - 0.375·x^2 + 4.5

b) Unter welchem Winkel unterquert der neue Kanal die von Westen nach Osten verlaufende Straße?

g(x) = - 0.375·x^2 + 4.5
g'(x) = - 0.75·x

g(x) = - 0.375·x^2 + 4.5 = 0 → x = - 2·√3 = - 3.464
α = arctan(g'(- 2·√3)) = 68.95°

c) Südlich der Straße soll der Kanal geradlinig weitergeführt werden. Wie lautet die Gleichung des Kanals in diesem Bereich (Funktion h).

h(x) = g'(- 2·√3)·(x + 2·√3) + g(- 2·√3) = 3/2·√3·x + 9 = 2.598·x + 9

d) Trifft die Weiterführung des Kanals auf die Stadt S(- 6 | - 9)?

h(- 6) = 9 - 9·√3 = - 6.588 → Nein. Die y-Koordinate ist nicht -9.

Skizze

Comments

Also bei a) wundere ich mich, wie du g'(2)=-1,5 kommst. Da brauchst du doch eine Rechnung... Was hast du denn für a und b eingesetzt?

Genau das gleiche mit g(2)=3

b) Das verstehe ich leider gar nicht. Du sollst da doch einen Winkel berechnen. Du stellst aber nach x frei. Einen Winkel berechnest du nicht oder täusche ich mich da?

Bei c) würde ich der Vollständigkeit halber h'(x) einmal aufschreiben. Wieso ist h'(x) =g'(x)? Kannst du das erklären?

Und wie ist 0=-9???

Bei d) ist dein Ansatz sicherlich richtig. Aber wo kommt h(6)=g(2,6)+g=-6,6 her? Zumindest ich verstehe es nicht...

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g(2) = 3 und g'(2) = -1,5

sind die Bedingungen, die für die Parabel gelten müssen damit sie sich Sprung und Knickfrei an den Stichkanal anfügt.

Das sind die Bedingungen, mit der ich dann die Gleichungen aufstellen um a und c zu bestimmen.

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b) Das verstehe ich leider gar nicht. Du sollst da doch einen Winkel berechnen. Du stellst aber nach x frei. Einen Winkel berechnest du nicht oder täusche ich mich da?

Mit α = arctan(g'(- 2·√3)) = 68.95°

berechne ich doch einen Winkel.

Bei c) würde ich der Vollständigkeit halber h'(x) einmal aufschreiben. Wieso ist h'(x) =g'(x)? Kannst du das erklären?

h(x) sollte die tangentiale Weiterführung von g(x) südlich der straße sein und damit müssen dort auch wieder Funktionswert und Steigung übereinstimmen.

Und wie ist 0=-9???

h(- 6) = 9 - 9·√3 = - 6.588 → Nein. Die y-Koordinate ist nicht -9.

Die Funktion h(x) geht durch den Punkt (-6 | -6.588) und nicht durch den Punkt (-6 | -9)

Answer 2

Vom see geht ein stichkanal aus, dessen verlauf für 2<x<8 durch die funktion f(x)=6x beschrieben werden kann. der stichkanal soll ohne knick durch einen bogen weitergeführt werden, der durch eine zur y-achse symmetrische quadratische parabel g(x)= ax2+bx+c modelliert werden kann.

g(x)= ax^2+bx+c kann keine zur y-Achse
symmetrische Parabel sein. Höchstens
g(x)= ax^2 + c

Sieht die Angelegenheit so aus ?

f =  3/8 * x^2 + 24

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Also bei a) wundere ich mich, wie du g'(2)=-1,5 kommst. Da brauchst du doch eine Rechnung... Was hast du denn für a und b eingesetzt?

Genau das gleiche mit g(2)=3

b) Das verstehe ich leider gar nicht. Du sollst da doch einen Winkel berechnen. Du stellst aber nach x frei. Einen Winkel berechnest du nicht oder täusche ich mich da?

Bei c) würde ich der Vollständigkeit halber h'(x) einmal aufschreiben. Wieso ist h'(x) =g'(x)? Kannst du das erklären?

Und wie ist 0=-9???

Bei d) ist dein Ansatz sicherlich richtig. Aber wo kommt h(6)=g(2,6)+g=-6,6 her? Zumindest ich verstehe es nicht...