Aufgabe:
Eine neue Bakterienkultur vermehrt sich exponentiell mit der Zeit. Um die Wachstumsrate \( β \) zu bestimmen wird folgendes Experiment durchgeführt: In einem festen Zeitintervall messen wird die Konzentration der Bakterien \( B_{i} \) zu den Zeitpunkten \( t_{i}=i/n, i=1,...,n. \). Für \( Y_{i}=log{(B_{i}}) \) gilt:
$$ Y_{i}=βt_{i}+ε_{i}, i=1,...,n. $$
Nehmen Sie an, dass die \( ε_{i} \) unabhängig und identisch (i.i.d.) standard normalverteilt sind.
1) Zeigen Sie, dass der Maximum-Likelihood-Schätzer \( β\) folgende Gleichung hat
$$ \hatβ_{MLE} = \frac{6\sum\limits_{i=1}^{n}{iY_{i}}}{(n+1)(2n+1)} $$ ,
weisen Sie die Konsistenz des Schätzers nach und ermitteln sie ein \( (1-α) \) Konfidenz Intervall für \( β \).
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz war folgender: Das Regressionsmodell hat die Form
$$ Y=Xβ+ε $$
In diesem Fall sind \( Y \) und \( ε \) jeweils \( (10×1) \) Vektoren. Da in dieser Aufgabe kein \( X \) vor kommt, wählt man für die Matrix X eine Einheitsmatrix mit der Dimension \( (10×10) \) und für β \( (10×1) \) und hat damit multipliziert mit \( t_{i}=i/n \) die jeweiligen Zahlen als Diagonal-Elemente.
Da bekannt ist, dass \( ε_{i} \) i.i.d. standard normalverteilt ist, folgt dass \( Y_{i} \) ebenfalls normalverteilt ist mit \( N(Xβt_{i},1) \)
Damit folgt für die Dichte
$$ f=\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{1}{2}·(Y-Xβt_{i})} $$
Viel weiter bin ich bisher leider nicht gekommen und ich habe auch das Gefühl, dass ich total auf einem Holzweg bin und alles falsch ist, was ich mir bisher gedacht habe, da ich auch nicht weiß wie \( Y_{i}=log{(B_{i}}) \) hier zu interpretieren ist und ich so eine Aufgabe bisher noch nie bearbeitet habe.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiter helfen kann!
