Definitionsmenge, Bruch kürzen (x^2 + 10x + 25) / (x^2 -25)

Question

Aufgabe:

Quadratische Gleichungen:

Kürze den Bruch und gib die Definitionsmenge vor und nach dem Kürzen an.

(x^2 + 10x + 25) / (x^2 -25)

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich vor?

Answer 1

Aloha :)

Verwende im Zähler die erste binomische Formel und im Nenner die dritte binomische Formel:$$\frac{x^2+10x+25}{x^2-25}=\frac{(x+5)^2}{(x-5)(x+5)}=\frac{x+5}{x-5}$$Vor dem Kürzen dürfen wir \(5\) und \(-5\) nicht einsetzen, nach dem Kürzen dürfen wir nur die \(5\) nicht einsetzen, sonst würden wir durch Null dividieren. Daher gilt für die gesuchten Definitionsmengen:$$\mathbb D_{\text{vor}}=\mathbb R\setminus\{-5;5\}\quad;\quad\mathbb D_{\text{nach}}=\mathbb R\setminus\{5\}$$

Answer 2

(x^2 + 10·x + 25) / (x^2 - 25) ; D = R \ {± 5}

= (x + 5)^2 / ((x + 5)·(x - 5))

= (x + 5) / (x - 5) ; D = R \ {5}

Obwohl jetzt -5 rein mathematisch im gekürzten Bruch im Definitionsbereich mit drin ist, weil man in der gekürzten Gleichung eben -5 einsetzen darf, lässt man diesen Wert aber trotzdem weg, weil er eben nicht in den Ausgangsbruch eingesetzt werden darf.