Aloha :)
Da wir es hier mit Brüchen zu tun haben, müssen wir aufpassen, dass wir nicht durch \(0\) dividieren. Daher dürfen wir \(x=\pm\sqrt2\) oder \(x=1\) nicht einsetzen und müssen diese 3 Werte aus der Definitionsmenge \(D\) herausnehmen. Übrig bleibt:$$D=\mathbb R\setminus\{-\sqrt2\,;\,1\,;\,\sqrt2\}$$
Die Lösung der Gleichung finden wir so:$$\left.\frac{x^2-4}{x^2-2}-\frac{2}{x-1}=\frac{2x}{(x^2-2)(x-1)}\quad\right|\cdot(x^2-2)(x-1)$$$$\left.\frac{x^2-4}{\cancel{x^2-2}}\cdot\cancel{(x^2-2)}(x-1)-\frac{2}{\cancel{x-1}}\cdot(x^2-2)\cancel{(x-1)}=2x\quad\right|\text{kürzen}$$$$\left.(x^2-4)(x-1)-2(x^2-2)=2x\quad\right|\text{Klammern ausmultiplizieren}$$$$\left.(x^3-4x-x^2+4)-(2x^2-4)=2x\quad\right|\text{Terme links zusammenfassen}$$$$\left.x^3-3x^2-4x+8=2x\quad\right|-2x$$$$\left.x^3-3x^2-6x+8=0\quad\right.$$Alle ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms müssen Teiler der Zahl ohne \(x\) sein. Das ist hier die \(8\) am Ende. Ihre Teiler sind \(\pm1\), \(\pm2\), \(\pm4\) und \(\pm8\). Das sind nicht so viele, sodass wir sie durchprobieren können. Wir finden 3 passende Werte \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=4\). Da ein Polynom 3-ten Grades maximal 3 Nullstellen haben kann, haben wir alle Lösungen gefunden. Allerdings scheidet die Lösung \(x=1\) aus, da dieser Wert nicht in der Definitionsmenge der ursprünglichen Gleichung ist. Damit haben wir als Lösungsmenge:$$L=\{-2\,;\,4\}$$
