Finden Sie die täglichen Produktionsmengen x und y, die den Gewinn maximieren.

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen produziert zwei verschiedene Arten A und B eines Gutes. Die täglichen Kosten für die Produktion von x Einheiten der Sorte A und y Einheiten der Sorte B sind:

K(x,y)= 2x²-4xy+4y²-40×-20y+14

Nehmen Sie an, dass das Unternehmen den ganzen Output zu einem Preis pro Einheit von 24€ für A und 12€ für B verkauft. Finden Sie die täglichen Produktionsmengen x und y, die den Gewinn maximieren. Geben Sie auch den maximalen Gewinn an.

Problem/Ansatz:

Habe zuerst die Umsatzfunktion gebildet.

U(x,y)= 24x+12y

Anschließend die Gewinnfunktion:

G(x,y) = -2ײ-4y²+64×+32y+4xy-14

Danach die Ableitungen:

G'(×) = -4×+64+4y

G'(y)= -8y+32+4x

Nun komme ich leider nicht weiter. Kann mir wer behilflich sein? Dankeschön

Answer 1

Setze beide partiellen Ableitungen gleich null und löse das entstehende Gleichungssystem

- 4·x + 4·y + 64 = 0
4·x - 8·y + 32 = 0 → x = 40 ∧ y = 24

Es sollten 40 Einheiten A und 24 Einheiten B verkauft werden.

Comments

Danke. Könnten Sie mir den Lösungsweg zeigen dazu? Ich habe es leider nicht hin bekommen mit 0 gleichzusetzen

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Du brauchst doch hinter die Terme nur = 0 schreiben.

Benutze dann, dass Additionsverfahren. Wenn du beide Gleichungen addierst, hebt sich das x weg.

Du kannst auch ein Rechentool wie Photomath benutzen, welches dich dabei unterstützen kann. Willst du es mal probieren?

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Das man es wie folgt schreibt weiß ich:

-4×+64-4y=0  nur was muss ich jetzt machen? Wie es geht wenn ich nur x oder nur y habe weiß ich, aber nun habe ich ja y und x hier stehen.

Ein Rechentool nutze ich sonst, aber leider hat der bei dieser Aufgabe nicht funktioniert.

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Ich habe doch schon bereits gesagt was du machen kannst:

Benutze dann, dass Additionsverfahren. Wenn du beide Gleichungen addierst, hebt sich das x weg.

(- 4·x + 4·y + 64) + (4·x - 8·y + 32) = (0) + (0)

Schaffst du das zu addieren?

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Danke ja auf die y=24 komme ich und auf die ×=40 auch.

Sry wenn ich so blöd frage. Aber was ist dann der maximale Gewinn? Wie berechnet sich dieser?

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Wenn du weißt was y ist was hintert dich dann das y z.B. in

- 4·x + 4·y + 64 = 0

einzusetzen und das dann nach x aufzulösen.

Recherchiere auch mal im Internet zur Verfahrensweise des Additionsverfahren.

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Hab es nach x auch hinbekommen. Danke. Jetzt fehlt mir nur noch der maximale Gewinn. Diesen bekomme ich doch indem ich die 40 und 24 ind die ausgangsgewinnfunktion setze oder?

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Du meinst hoffentlich die Gewinnfunktion und nicht die gegebene Kostenfunktion.

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Ja natürlich meine ich die Gewinnfunktion. Es kommt ein gmax von 1650 heraus

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Und du darfst dann auch gerne noch begründen, warum es ein Maximum sein muss.