Bestimmen Sie alle Äquivalenzklassen bzgl. dieser Äquivalenzrelation.

Question

Wir definieren auf P({1, 2, 3, 4}) eine Äquivalenzrelation durch
A ∼ B :⇔ 3 | #A − #B
(i) Bestimmen Sie alle Äquivalenzklassen bzgl. dieser Äquivalenzrelation.
(ii) Wir bezeichnen mit ∼ˆ die Äquivalenzrelation ∼, aufgefasst als Äquivalenzrelation auf der
Menge P({1, 2, 3, 4, 5}. Existiert eine Bijektion zwischen den Mengen P({1, 2, 3, 4})/ ∼
und P({1, 2, 3, 4, 5})/ ∼ˆ ?

Answer 1

Äquivalent sind also zwei Teilmengen von {1, 2, 3, 4} genau

dann, wenn die Differenz gebildet aus den beiden Anzahlen der

Elemente durch 3 teilbar ist.

Also sind die leere Menge und die 3-elementigen in einer

Klasse, (Differenz ist dann ja 0 oder 3) .

Ebenso bilden die 1-elementigen und die ganze Menge

eine Klasse.

Die dritte Klasse besteht aus den 2-elementigen

Teilmengen.

Comments

danke für die schnelle Antwort. Das hat mir wirklich geholfen, zu verstehen wie Äquivalenzklassen funktionieren.

Ich verstehe nur beim zweiten Teil nicht ganz wie ich zwischen den beiden Partitionen(?) eine Bijektion finden bzw. widerlegen soll.

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Na ja, das sind ja endlich viele Klassen in beiden Fällen,

nämlich jeweils 3 Stück.

Und bei endlichen Mengen gibt es immer eine

Bijektion, wenn sie gleich groß sind.

Dazu muss man die Klassen wohl repräsentieren, etwa

durch ∅* die Klasse in der die leere Menge und
             die 3-elementigen sind.
durch {1}* für die Klasse der 1- und 4-elementigen

und {1,2}* für die Klasse der 2 und 5-elementigen

Dann könnte man die Bijektion so definieren:

Hier wohl so:

f :  P({1, 2, 3, 4})/ ∼   →    P({1, 2, 3, 4, 5})/ ∼

       f( ∅*)   =  ∅*

       f({1}*) = {1}*

        f({1,2}*) = {1,2}*

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Das macht natürlich Sinn, ich war auf einem ganz anderen Gedankengang. Danke dir!

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Aber müsste dann nicht auch eine Klasse aus den 3 elementigen bestehen? da ja z.b. #{1,2,3} - #{1,3,4} = 0 ist und somit auch eine Äquivalenzklasse sein müsste

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durch ∅* die Klasse in der die leere Menge und
          die 3-elementigen sind.

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Eine Frage hätte ich auch noch dazu.. wir haben zwar in beiden Partitionen gleich viele Äquivalenzklassen aber in der P({1, 2, 3, 4})/ ∼  eine menge weniger. Nämlich fehlen dort bei der {1,2}  Klasse, die Menge der 5-elementigen .. ist dieser Unterschied relevant für die Bijektion?