Integral, Inhalt der Fläche, Scharen

Question

ich lerne für eine Mathe Klausur und komme bei dieser Aufgabe irgendwie wieder nicht weiter:

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Parabeln f(x) = \( x^{2} \) - \( a^{2} \) und g(x) = -\( \frac{1}{a}x^{2} \) + a gemeinsame Nullstellen haben.

Bestimmen Sie ein a > 0 so, dass der Inhalt des Flächenstücks, das von beiden Parabeln begrenzt wird, gleich 16 ist.

Dass die Parabeln gemeinsame Nullstellen besitzen, hab ich schon bewiesen (beide besitzen ±a).

Nun muss ich ja um den Inhalt des Flächenstücks zu berechnen, die Nullstellen als Grenzen für die Rechnung einsetzen. Nur wie mache ich das jetzt?

Vielen Dank schonmal!

Answer 1

Gem. Nullstellen: 0=x²-a² für x=±a

                          0=-x²/a+a für x=±a.

Differenzfunktion d(x)=x²-a²+x²/a - a

Fläche: \( \int\limits_{-a}^{a} \) d(x) dx=16

-4/3a²(a+1)=16

Mit Näherungsverfahren: a ≈ -2.67588867.