Zeigen Sie, dass D nichtleer und beschränkt ist.

Question

Aufgabe:

Es seien M ⊂ R eine nichtleere und beschränkte Menge und
D := {x − y : x, y ∈ M }.
(a) Zeigen Sie, dass D nichtleer und beschränkt ist.

(b) Beweisen Sie die Beziehung
sup D = sup M − inf M.

Problem/Ansatz:

Wie kann man die Aufgabe A und B beweisen?

Answer 1

Wenn M beschränkt ist , existiert eine positive reelle Zahl S ∈R mit

|x|<S für alle x ∈M. Für x und y ∈M gelten also die beiden Ungleichungen

|x|<S und |y|<S.

Wie lässt sich dann |x-y| abschätzen?