A + B ist durch sup A + sup B nach oben beschränkt, weil
für jedes a ∈ A ist a ≤ sup A
für jedes b ∈ B ist b ≤ sup B
also
für jedes a ∈ A und jedes b ∈ B ist a + b ≤ sup A + sup B.
Also ist
sup(A + B) ≤ sup A + sup B.
Sei ε > 0. Sei a ∈ A mit sup A - a < ε/2 (ein solches a muss es geben, weil sonst sup A - ε/2 obere Schranke von A wäre und somit sup A nicht das Supremum von A wäre) und b ∈ B mit sup B - b < ε/2.
Dann ist (sup A + sup B) - (a+b) < ε. Also gibt es in jeder ε-Umgebung um sup A + sup B Elemente von A+B.
Wäre sup(A + B) < sup A + sup B, dann gäbe es in der ε-Umgebung um sup A + sup B mit
ε = ((sup A + sup B) - sup(A+B))/2
Elemente von A+B. Diese Elemente wären größer als sup(A+B). Also wäre sup(A+B) keine obere Schranke von A+B. Das ist ein Widerspruch zur Defnition des Supremums. Also kann sup(A + B) < sup A + sup B nicht sein. Also ist
sup(A + B) = sup A + sup B.
