Teil A.
1. "⇒"
Die Folge (an) n∈N ist konvergent gegen einen Grenzwert a ∈ R, also gilt:
∀ε > 0 ∃ nε ∈ N ∀ n ≥ nε : |an − a| < ε
Definiere bn = (an − an+1) und zeige:
∀ε > 0 ∃n˜ε ∈ N ∀ n ≥ n˜ε : |bn − 0| < ε
Also suche zu jedem ε > 0 ein passendes n˜ε ∈ N, mit der Eigenschaft (a). Sei dazu ε > 0
beliebig, aber fix. Für alle n ≥ n˜ε := nε/2 gilt.
|bn − 0| = |an − an+1| = |an − a + a − an+1| < |an − a| + |a − an+1| < ε/2 + ε/2= ε
2. "⇐"
Die Folge (an − an+1) n∈N sei eine Nullfolge, also
∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀ n ≥ nε : |(an − an+1) − 0| < ε
Aber dann muss (an) n∈N keine konvergente Folge sein:
Sei dazu an =√n, für n ∈ N. Offensichtlich ist an =√n keine konvergente Folge. Jetzt
suche ein nε, so dass für alle n ≥ nε gilt:
|an+1 − an| = |√(n + 1) −√n| =√(n + 1) −√n ≤ ε
Nun multipliziere beide Seiten mit (√(n + 1) + √n) aus
(√(n + 1) −√n) (√(n + 1) + √n) = (√(n + 1))2 − (√n)2 = n + 1 − n = 1 ≤ ε · (√(n + 1) + √n)
Also suche nε, sodass für alle n ≥ nε, gilt ε · (√(n + 1) + √n) ≥ 1 dazu schätze weiter ab
ε · (√(n + 1) + √n) ≥ ε2√n ≥ 1 ⇔ n ≥ (1/2ε)2
Aus der letzen Zeile folgt, dass wir nε := ( 1/2ε)2 wählen dürfen
