Aufgabe
Das Original Spiel Siedler von Catan von 1995 gibt es (Sechseckige) 19 Landfelder (3x Lehm, 3x Stein, 4x Getreide, 4x Holz, 4x Weide, 1x Wüste) und 19 Wasserfelder (Davon 9 normale Wasserfelder und 4x 3:1 Hafen, und 5 verschiedene 2:1 Häfen für die jeweiligen Rohstoffe). Die hexagonen Landfelder werden in einer festen Formation (3-4-5-4-3) zufällig verteilt. Auf die 18 normalen Landfeldern (Wüste ausgenommen) werden jeweils Zahlenchips mit den Nummern 2 bis 12 zufällig verteilt. Dabei kommt jede Zahl bis auf die 2 und die 12 jeweils 2x vor. Eine Einschränkung dabei ist, dass niemals mehr als eine 6 oder eine 8 genau nebeneinander liegen dürfen. Zwischen den Häfen muss jeweils immer genau 1 normales Wasserfeld liegen.
1) Ignorieren sie zunächst das Wasser und die Zahlen und berechnen Sie zunächst alle möglichen Kombinationen der 19 Landfelder.
2) Berechnen Sie alle möglichen Spielfeldkonstellationen unter der Annahme, dass die Wasserfelder immer konstant an der gleichen Stelle sind.
3) Berechnen Sie nun alle möglichen Spielfeldkonstellationen.
4) Wie viele Jahre müssten Sie durchgehend spielen, um jede mögliche Spielfeldkonstellation zu spielen? Gehen Sie dabei davon aus, dass ein Spiel im Durchschnitt 75 Minuten dauert.
Hinweis: Bei den normalen Feldern spielt die Rotation der Hexagone keine Rolle, bei den Häfen müssen Sie allerdings aufpassen ;)
Ansatz:
1) Da die Landfelder immer die Konstellation (3-4-5-4-3) haben, gibt es
$$ \frac{19!}{4!^3·3!^2·1!} = 244432188000 $$
mögliche Kombinationen.
2) Es gibt insgesamt 18 Zahlen, davon 1x 2 und 1x 12 und 2x alle Zahlen von 3-11. Also gibt es
$$ \frac{18!}{2!^8} = 25009272290000 $$
Wenn man davon ausgeht, dass diese Zahlen komplett zufällig verteilt werden. Allerdings gibt es die Einschränkung, dass die 6 und die 8 niemals nebeneinander liegen darf, d.h. das Ergebnis wird kleiner, aber wie berechne ich so etwas?
3) Es gibt insgesamt 9 Häfen, davon sind 4 identisch und 5 unterscheiden sich. Also gibt es hier
$$ \frac{9!}{4!} = 15120 $$
mögliche Positionen für die Häfen. Allerdings können die Häfen ja auch rotiert werden also gibt es hier noch viel mehr Möglichkeiten, allerdings weiß ich nicht wie ich das machen soll.
Für alle möglichen Spielfeldkonstellationen würde ich einfach die 3 berechneten Größen miteinander multiplizieren.
$$ 244432188000·25009272290000·15120 = 92429635729522954262400000000 \approx 9,2·10^{28}$$
Nun ist dieser Wert aber ja falsch, weil ich manche Bedingungen in der Aufgabenstellung nicht in meine Rechnung nicht einfließen lassen habe. Kann mir hierbei vielleicht jemand weiterhelfen?
