Wronskideterminante berechnen zu Differentialgleichungssystem

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das Differentialgleichungssystem

u'(t) = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\  0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) u(t) . für t ∈ ℝ

mit den Lösungen

u₁ (t) = \( \begin{pmatrix} t^2 -3t\\2t-3\\2 \end{pmatrix} \)

u₂ (t) = \( \begin{pmatrix} 4t^2\\8t\\8 \end{pmatrix} \)

u₃ (t) = \( \begin{pmatrix} 2t\\2\\0 \end{pmatrix} \)

u₄ (t) = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Berechnen Sie die Wronskideterminanten

W₁ zu [ u₁ , u₂ , u₃ ] und W₂ zu [ u₁ , u₂ , u₃ ] an der Stelle t₀ = 1.

W₁(1) = ?

W₂(1) = ?

Berechnen Sie die Lösung u des Differentialgleichungssystems mit der Anfangsbedingung

u(-2) = \( \begin{pmatrix} 8\\-5\\4 \end{pmatrix} \)

u(t) = \( \begin{pmatrix} ?\\?\\? \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir da jemand weiter helfen ?

Answer 1

Hallo,

Die Definition allgemein lautet:

\( W(x)=\left|\begin{array}{ccc}y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime} & y_{3}^{\prime} \\ y_{1}^{\prime \prime} & y_{2}^{\prime \prime} & y_{3}^{\prime \prime}\end{array}\right|= \)

d.h z.B für u₂(t):

=$$\begin{vmatrix} 4t^2 & 8t & 8 \\ 8t & 8 & 0 \\ 8 & 0 & 0  \end{vmatrix}$$ = -512

Berechnung der Determinante z.B nach der Regel von Sarrus.

Comments

Erstmal vielen dank für die Antwort!

Mein Ergebnis ist dann

u₁(t) = -8

u₂ (t) = -512

u₃(t) = 0

u₄(t) =0

somit :

W₁ zu [u₁ , u₂ , u₃]

W₁ (1) = [-8, -512 , 0]

und

W₂ zu [u₁, u₃, u₄]

W₂ (1) = [-8, 0, 0]

Ist die lösung soweit korrekt ?