Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystem

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystem
\( \vec{y}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{array}\right) \vec{y}+t e^{6 t}\left(\begin{array}{l} t \\ 1 \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich habe im ersten Schritt die Determinante ausgerechnet und kam auf (3 - λ)^2, jetzt weiß ich nicht genau wie von hier der nächste Schritt ist. Irgendeine Idee?

Answer 1

Damit hast du Eigenwerte und dann die Eigenvektoren des homogenen Systems und musst noch eine partikuläre des inhomogenen finden.

lul

Answer 2

Hallo,

Nach den Eigenwerten müssen die Eigenvektoren(Hauptvektoren) berechnet werden,

weil 3 eine doppelte Lösung ist.

Die Lösung ist die homogene Lösung:

Ansatz part. Lösung:

y1= (a t^2 +bt +c) e^(6t)

y2= (A t^2 +Bt +C) e^(6t)

------>in die Aufgabe einsetzen, Koeffizientenvergleich

y=yh+yp

Gesamtlösung:

\( \begin{array}{c}y_{1}=\frac{t^{2} e^{6 t}}{3}-\frac{t e^{6 t}}{9}+C_{2} t e^{3 t}+C_{1} e^{3 t} \\ y_{2}=\frac{t e^{6 t}}{3}-\frac{e^{6 t}}{9}+C_{2} e^{3 t}\end{array} \)