Differentialgleichungssystem versch. Aufgabenstellungen

Question

Wir betrachten das Differentialgleichungssystem
$y_{1}^{\prime}=\left(a+\frac{1}{2}\right) y_{1}-\frac{1}{2} y_{2}+e^{a t}, \quad y_{2}^{\prime}=\frac{1}{2} y_{1}+\left(a-\frac{1}{2}\right) y_{2} .$
(a) Schreiben Sie das System in der Form $\boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{y}+\boldsymbol{b}(t)$ mit $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ und $\boldsymbol{b}(t) \in \mathbb{R}^{2}$.
(b) Für welche $a \in \mathbb{R}$ ist die Nulllösung des homogenen Systems $\boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{y}$ asymptotisch stabil?
(c) Berechnen Sie $(\boldsymbol{A}-a \boldsymbol{E})^{2}$ und $\exp (\boldsymbol{A} t)$, wobei $\boldsymbol{E}$ die Einheitsmatrix bezeichnet.
(d) Bestimmen Sie eine Fundamentalmatrix $\boldsymbol{Y}(t)$ des homogenen Systems $\boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{y}$.
(e) Bestimmen Sie die Lösung der DGL (1) zu den Anfangsdaten $\boldsymbol{y}(0)=(1,1)^{T}$.

Wie löse ich diese Aufgaben?

Comments

Du kannst uns doch schonmal etwas entgegenkommen und die Matrix A angeben und deren Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen.

Answer 1

Hallo,

a) Schreiben Sie das System in der Form $\boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{y}+\boldsymbol{b}(t)$

(d) Bestimmen Sie eine Fundamentalmatrix $\boldsymbol{Y}(t)$ des homogenen Systems $\boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{y}$.