Untersuchen Sie diefolgenden Relationen auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie diefolgenden Relationen auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.
Geben Sie im Falle einer Äquivalenzrelation auch die jeweiligen Äquivalenzklassen an.

a) R ⊆ N × N mit R(a, b) :⇔ |a − b| ≤ 2

b) Auf der Menge aller PKW sei a ∼ b :⇔ a hat dieselbe Farbe oder dieselbe Marke
wie b.

c) Auf der Menge M = R \ {0} definieren wir x ∼ y :⇔ xy ≥ 0

d) Gelten die Ergebnisse aus c) auch dann noch, wenn wir M = R setzen? Beweis
oder Gegenbeispiel!

e) Auf N setzen wir a ∼ b :⇔ ∃m ∈ N mit a = b
m

Answer 1

a) R ⊆ N × N mit R(a, b) :⇔ |a − b| ≤ 2

Für alle (a,a)∈N × N gilt |a − a| ≤ 2   weil 0≤ 2  also reflexiv

Für alle (a,b)∈N × N gilt |a − b| ≤ 2 ==>   |b − a| ≤ 2,
        weil |a − b| =  |b − a| also symmetrisch

Aber : (4;2) ∈R weil |4− 2| ≤ 2 und   (2;1) ∈R weil |2 − 1| ≤ 2
             und    (4;1) ∉ R weil |4-1|=3 > 2  

Answer 2

a) und b) sind keine Äquivalenzrelationen wegen fehlender Transitivität.

c) ist eine Äquivalenzraltionen mit den zwei Äqiuvalenzklassen positive reelle Zahlen und negative reelle Zahlen.

d) Nein wegen fehlender Transitivität.

e) ist keine Äquivalenzraltionen wegen fehlender Symmetrie.