Monotonie einer Funktion ohne Ableitung berechnen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Monotonieintervalle der Funktion \( f \) und die Art der Monotonie, ohne \( f^{\prime} \) zu berechnen. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis anschließend anhand der Ableitung \( f^{\prime} \).

a) \( f(x)=\left(x^{2}-4\right)^{2} \)

b) \( f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-1} \)

Hab die Nullstellen berechnet aber wie muss ich nun weiter machen ohne die Ableitung zu berechnen?

Answer 1

(x² - 4)² = x⁴ -8x² + 16 ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Bei 0 ist also eine Extremstelle.

Weil (x² - 4)²  ≥ 0 für alle x ist, sind die Nullstellen gleichzeitig Extremstellen.

Weitere Extremstellen kann es nicht geben.

Answer 2

a) Unterscheide folgende Fälle und prüfe in jedem Falle x<z ⇒f (x)<f(z):

0<x<z<2

0<x<2 und 0<z<2 und x<z

0>x>,2 und 0>z>,2 und x<z

-2<x<z<0