Aloha :)
Ich schreibe die Funktion mit \(x\) und \(y\) anstatt \(x_1\) und \(x_2\), das spart Indizes.
$$f(x,y)=x^2+2y^2-2x\quad;\quad x^2+y^2\le4$$
a) Lokale Extrema
Wir schauen zunächst mit den Mitteln der Differentialrechnung nach lokalen Extrema:$$\vec 0\stackrel!=\operatorname{grad}f(x,y)=\binom{2x-2}{4y}\implies (x;y)=(1;0)$$Wir haben also einen Kandidaten für ein Extremum gefunden. Wir prüfen die Art des Extremums mit der Hesse-Matrix:$$H(x,y)=\left(\begin{array}{rr}\partial_{xx}f & \partial_{xy}f\\\partial_{yx}f & \partial_{yy}f\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}2 & 0\\0 & 4\end{array}\right)$$Die Summe der Eigenwerte ist \(2+4=6\) und das Produkt der Eigenwerte ist \(2\cdot4=8\). Das leisten die beiden Werte \(\lambda_1=4\) und \(\lambda_2=2\). Beide sind positiv, also ist die Hesse-Matrix positiv definit. An der Stelle \((1;0)\) liegt daher ein lokales Minimum vor.$$\boxed{\text{Lokales Minimum:}\quad f(1;0)=-1}$$
b) Rand-Extrema oder globale Extrema
Die die Differentialrechnung nur in offenen Definitionsmengen möglich ist, greift sie nicht direkt am Rand des Definitionsbereichs. Wir benötigen daher eine Möglichkeit, den Rand der Funktion anders "abtasten" zu können. Dafür nutzen wir die Parametrisierung des Randes aus dem Hinweis.$$r_f(x(t);y(t))=\left(\,2\cos t\,\right)^2+2\left(\,2\sin t\,\right)^2-2\cdot2\cos t$$$$\phantom{r_f(x(t);y(t))}=4\cos^2t+8\sin^2t-4\cos t$$$$\phantom{r_f(x(t);y(t))}=4+4\sin^2t-4\cos t$$Die Ableitung gibt uns die Kandidaten für Extrema:$$0\stackrel!=r'_f(t)=8\sin t\cos t+4\sin t=4\sin t\cdot(2\cos t+1)$$Die Nullstellen liefern mögliche Kandiaten:$$0=\sin t\;\,\quad\qquad\implies\quad t=0\;\;;\;\;t=\pi$$$$0=2\cos t+1\quad\implies\quad t=\frac{2\pi}{3}\;;\;\;t=\frac{4\pi}{3}$$
Über die Art der Extrema gibt die 2-te Ableitung Auskunft:$$r''_f(t)=4\cos t\cdot(2\cos t+1)+4\sin t\cdot(-2\sin t)=8\cos^2t-8\sin^2t+4\cos t$$$$r''_f(0)=12\!\qquad\implies\text{Minimum}$$$$r''_f(\pi)=4\;\qquad\implies\text{Minimum}$$$$r''_f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-6\implies\text{Maximum}$$$$r''_f\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-6\implies\text{Maximum}$$
Rechnen wir den Parameter auf Punkte zurück, erhalten wir:
$$\text{Globales Minimum:}\quad f(2;0)=0$$$$\text{Globales Minimum:}\quad f(-2;0)=8$$$$\text{Globales Maximum:}\quad f(-1;\sqrt3)=9$$$$\text{Globales Maximum:}\quad f(-1;-\sqrt3)=9$$
Bitte das lokale Minimum von oben nicht vergessen, das sich nicht auf dem Rand befindet.
