In welchem Verhältnis teilt der Schnitt S von BE mit AC die Diagonale AC?

Question

Aufgabe: Vektorrechnung Parellelogramm
Zwei Vektoren a und b spannen Parallelogramm ABCD auf . Punkt E teilt DC im Verhältnis 1:3 
In welchem Verhältnis teilt der Schnitt S von BE mit AC die Diagonale AC ?

Problem/Ansatz:

Vielleicht gab es bereits eine ähnliche Frage, aber ich kann immer noch nicht herausfinden, wie ich das lösen kann

Comments

Hallo,

man könnte die erweiterten Strahlensätze benutzen.EIne Parallele zu EB durch den Punkt D setzen.

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man könnte die erweiterten Strahlensätze benutzen

Was ist das?

EIne Parallele zu EB durch den Punkt D setzen.

Das ist ein schöner Vorschlag!

Offensichtlich ist $$|AS| \div |SC| = (3+1) \div 3 = 4 \div 3$$

Answer 1

Ansatz   Setze AS = x*AC und

x*AC+y*BE+ED+DA=0

und verwende AC=a+b und BE= -a+b+(1/3)a = (-2/3)a + b und DA=-b

==>  x(a+b)+y*( (-2/3)a + b ) - b = 0

==>  (x -(2/3)y ) * a + ( x + y - 1 ) * b =0

Da a,b lin. unabhängig also

   x -(2/3)y =0    und   x + y - 1 =0

           x = (2/3)y und  (2/3)y + y - 1 =0 ==>  y = 3/5

                                 ==>   x = 2/5

Also ist AS   der Anteil 2/5 von AC.

Comments

Punkt E teilt DC im Verhältnis 1:3

Also 1/4 und 3/4, nicht 1/3 und 2/3.

:-)

Answer 2

Hallo Elissa,

Zeichne die Gerade durch \(EB\) (rot), so dass sie die Verlängerung der Seite \(AD\) in \(P\) schneidet

Es gilt: $$\begin{aligned}  |AS| \div |SC| &= |PA| \div |BC| \\&= |PA| \div |DA| \\&= |PA| \div (|PA| - |PD|) \\&= 1 \div \left( 1 - \frac{|PD|}{|PA|} \right)  \\&= 1 \div \left( 1 - \frac{|DE|}{|AB|} \right) \\&= 1 \div \left( 1 - \frac{|DE|}{|CD|} \right)   \\&= 1 \div \left( 1 - \frac{1}{1+3} \right) \\&= 1 \div \frac 34 \\&= 4 \div 3\end{aligned}$$

Answer 3

Da du die Aufgabe mit Vektoren lösen sollst, gehst du am besten so vor:

Wähle einen geschlossenen Weg mit S als Ecke aus, z.B. ABSA.

Die Vektorsumme AB+BS+SA ist gleich dem Nullvektor.

AB+BS+SA=o

Drücke nun jeden der drei Vektoren durch a und b aus.

AB=a

BS=r*BE=r*(b -3/4 *a)=r*b -3/4*r*a

SA=s*CA=s*(-a-b)=-s*a-s*b

a+r*b -3/4 *r*a -s*a -s*b = o

Sortiere die Vektoren nach a und b, sodass du folgende Form erhältst:

(...)*a+(...)*b=o       [a,b und o sind Vektoren.]

(1-3/4*r-s)*a+(r-s)*b=o

Da a und b linear unabhängig sind, müssen beide Klammern gleich Null sein. Du erhältst zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, die du lösen musst.

1-3/4*r-s=0

r-s=0 → r=s

1-3/4*r-r=0

r=4/7=s

Also ist AS=4/7*AC und SC=3/7*AC.

--> AS:SC=4:3

:-)