Aloha :)
Wir lösen zuerst das Gleichungssystem:
$$\begin{array}{rrrrrl}x & y & z & = && \text{Aktion}\\\hline3 & -3 & 5 & 6 &&-3\cdot\text{Zeile 2}\\ 1 & 7 & 5 & 4 && \\ 5 & 10 & 15 & 9 && -5\cdot\text{Zeile 2}\\\hline0 & -24 & -10 & -6 &&-\text{Zeile 3} \\ 1 & 7 & 5 & 4 && \\ 0 & -25 & -10 & -11 && \\\hline0 & 1 & 0 & 5 && \\ 1 & 7 & 5 & 4 &&-7\cdot\text{Zeile 1} \\ 0 & -25 & -10 & -11 &&+25\cdot\text{Zeile 1} \\\hline0 & 1 & 0 & 5 && \\ 1 & 0 & 5 & -31 && \\ 0 & 0 & -10 & 114 && :\,(-10)\\\hline0 & 1 & 0 & 5 && \\ 1 & 0 & 5 & -31 &&-5\cdot\text{Zeile 3} \\ 0 & 0 & 1 & -11,4 && \\\hline0 & 1 & 0 & 5 && \\ 1 & 0 & 0 & 26 && \\ 0 & 0 & 1 & -11,4 &&\\\hline\hline \end{array}$$$$ x=26\quad;\quad y=5\quad;\quad z=-11,4$$
Da die Spalten des Gleichungssystems genau die Vektoren waren, durch die der Vektor \((6;4;9)\) ausgedrückt werden soll, können wir die Zerlegung direkt hinschreiben:
$$\begin{pmatrix}6\\4\\9\end{pmatrix}=26\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}+5\begin{pmatrix}-3\\7\\10\end{pmatrix}-11,4\begin{pmatrix}5\\5\\15\end{pmatrix}$$
