Aloha :)
Bei der ersten Funktion$$f(x,y)=\arccos\left(\sqrt{\frac{y}{x}}\right)$$
darf \(x\) nicht null werden, weil sonst durch null dividert würde. Weiterhin muss unter der Wurzel eine nicht-negative Zahl stehen, d.h. \(x\) und \(y\) müssen dasselbe Vorzeichen haben. [Ergänzung nach Kommentar von Georg:] Die \(\arccos\)-Funktion akzeptiert nur Argumente aus dem Intervall \([-1;1]\). Wir müssen daher noch dafür sorgen, dass \(|y|\le|x|\) gilt. [Ergänzung Ende]. Die \(\arccos\)-Funktion liefert einen Winkel zurück. Da das Argument hier aber nicht negativ sein kann, liegt der Rückgabewert zwischen \(0\) und \(\frac{\pi}{2}\). Damit ergeben sich 2 mögliche Definitionsbereiche:$$f:\;\mathbb R^{>0}\times[0;x]\to\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\quad\text{oder}\quad f:\;\mathbb R^{<0}\times [-x;0]\to\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$
Bei der zweiten Funktion ist mir nicht ganz klar, was du meinst:$$g_1(x,y)=(x^y)^2\quad;\quad g_2(x,y)=x^{y^2}$$Mit Hilfe der \(e\)-Funktion kannst du beide umschreiben:$$g_1(x,y)=x^{2y}=e^{2y\ln(x)}\quad;\quad g_2(x,y)=e^{y^2\ln(x)}$$In beiden Fällen ist \(\ln(x)\) das Problem. Diese Funktion ist nur für \(x>0\) definiert. Für \(y\) haben wir keine Restriktionen. Das führt für beide Varianten auf folgenden Definitionsbereich:$$g:\;\mathbb R^{>0}\times\mathbb R\to\mathbb R^{>0}$$
