wie lauten die Definitionsbereiche der Funktionen?

Question

Hallo,

kann mir jemand sagen wie der Definitionsbereich von

f(x, y) = arccos ($\sqrt{y/x})$

und f(x, y) = x^y^2

ist?

zum ersten hätte ich gedacht ℝ²→ℝ\{0}

stimmt das?

Answer 1

Aloha :)

Bei der ersten Funktion$$f(x,y)=\arccos\left(\sqrt{\frac{y}{x}}\right)$$

darf $x$ nicht null werden, weil sonst durch null dividert würde. Weiterhin muss unter der Wurzel eine nicht-negative Zahl stehen, d.h. $x$ und $y$ müssen dasselbe Vorzeichen haben. [Ergänzung nach Kommentar von Georg:] Die $\arccos$-Funktion akzeptiert nur Argumente aus dem Intervall $[-1;1]$. Wir müssen daher noch dafür sorgen, dass $|y|\le|x|$ gilt. [Ergänzung Ende]. Die $\arccos$-Funktion liefert einen Winkel zurück. Da das Argument hier aber nicht negativ sein kann, liegt der Rückgabewert zwischen $0$ und $\frac{\pi}{2}$. Damit ergeben sich 2 mögliche Definitionsbereiche:$$f:\;\mathbb R^{>0}\times[0;x]\to\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\quad\text{oder}\quad f:\;\mathbb R^{<0}\times [-x;0]\to\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$

Bei der zweiten Funktion ist mir nicht ganz klar, was du meinst:$$g_1(x,y)=(x^y)^2\quad;\quad g_2(x,y)=x^{y^2}$$Mit Hilfe der $e$-Funktion kannst du beide umschreiben:$$g_1(x,y)=x^{2y}=e^{2y\ln(x)}\quad;\quad g_2(x,y)=e^{y^2\ln(x)}$$In beiden Fällen ist $\ln(x)$ das Problem. Diese Funktion ist nur für $x>0$ definiert. Für $y$ haben wir keine Restriktionen. Das führt für beide Varianten auf folgenden Definitionsbereich:$$g:\;\mathbb R^{>0}\times\mathbb R\to\mathbb R^{>0}$$

Comments

Hallo Tschaka,
ich habe mir gerade die arccos-Funktion
plotten lassen Der Definitionsbereich
ist -1 bis 1.
mfg Georg

sin von -∞ bis + ∞
Wertebereich -1 bis 1
arccos -1 bis 1 / -∞ bis + ∞

---

Hallo Georg ;)

Oha, danke dir sehr! Das habe ich echt übersehen...

Dann müssen wir ja noch dafür sorgen, dass das Argeument $\frac{y}{x}$ in $[0;1]$ liegt (negativ kann es ja nicht werden, wegen der Wurzel). Ich schaue mal, ob ich meine Antwort diesbezüglich noch sinnvoll anpassen kann.

Danke dir noch mal für das Debugging ;)

VG Stefan

Answer 2

f(x, y) = arccos ( sqrt (y/x) )

Aufgrund der Wurzel
y / x muß ≥ 0 sein

[
( y ≥ 0 ) und ( x > 0 )
oder
( y ≤ 0 ) und ( x < 0 )
]

Die arccos Funktion hat einen Definitionsbereich
von -1 bis 1

also muß obiges [ .. ] im Bereich -1,,1 liegen.