Funktionen und ihre Definitionsbereiche/Grenzwerte (Analysis)

Question

ich bräuchte Hilfe bei den folgenden Aufgaben.

Gegeben sind die Funktionen:

f(x) = $\frac{3}{x-2}$

g(x) = $\frac{1}{x^2 - 9}$

h(x) = 2 + $\frac{1}{x}$

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der drei Funktionen

 Meine Lösung zu a:

     f: Dmax = ℝ \ {+2)

    g: Dmax = ℝ \ {3,-3}

    h: Dmax = ℝ { x ≠ 0}

Ist das so richtig oder habe ich da was falsch gemacht?

b) Wie verhalten sich die drei Funktionen für x → ∞ und x → – ∞? 

Geben Sie die beiden Grenzwerte für x → ∞ und x → – ∞ und die Gleichung der Asymptote g an, der sich die Funktion annähert.

c) Wie verhalten sich die drei Funktionen an ihrer Definitionslücke / an ihren Definitionslücken? Geben Sie (falls vorhanden) die Gleichungen der senkrechten Asymptoten an den Polstellen an.

Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen oder das mir irgendwie erklären. :/

Answer 1

Aloha :)

Bei (a) hast du alles richtig.

zu b)$$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{3}{x-2}\right)=\frac{3}{\lim\limits_{x\to\infty}(x-2)}=0$$$$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\frac{3}{x-2}\right)=\frac{3}{\lim\limits_{x\to-\infty}(x-2)}=0$$

$$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x^2-9}\right)=\frac{1}{\lim\limits_{x\to\infty}(x^2-9)}=0$$$$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\frac{1}{x^2-9}\right)=\frac{3}{\lim\limits_{x\to-\infty}(x^2-9)}=0$$

$$\lim\limits_{x\to\infty}\left(2+\frac{1}{x}\right)=2+\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=2$$$$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(2+\frac{1}{x}\right)=2+\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=2$$

zu c)$$\lim\limits_{x\nearrow2}\left(\frac{3}{x-2}\right)=\frac{3}{\lim\limits_{x\nearrow2}(x-2)}=-\infty$$$$\lim\limits_{x\searrow2}\left(\frac{3}{x-2}\right)=\frac{3}{\lim\limits_{x\searrow2}(x-2)}=+\infty$$

$$\lim\limits_{x\nearrow-3}\left(\frac{1}{x^2-9}\right)=\frac{1}{\lim\limits_{x\nearrow-3}((x+3)(x-3))}\to+\infty$$$$\lim\limits_{x\searrow-3}\left(\frac{1}{x^2-9}\right)=\frac{1}{\lim\limits_{x\searrow-3}((x+3)(x-3))}\to-\infty$$$$\lim\limits_{x\nearrow3}\left(\frac{1}{x^2-9}\right)=\frac{1}{\lim\limits_{x\nearrow3}((x+3)(x-3))}\to-\infty$$$$\lim\limits_{x\nearrow3}\left(\frac{1}{x^2-9}\right)=\frac{1}{\lim\limits_{x\nearrow3}((x+3)(x-3))}\to+\infty$$

$$\lim\limits_{x\nearrow0}\left(2+\frac{1}{x}\right)=2+\frac{1}{\lim\limits_{x\nearrow0}x}=-\infty$$$$\lim\limits_{x\searrow0}\left(2+\frac{1}{x}\right)=2+\frac{1}{\lim\limits_{x\searrow0}x}=+\infty$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = 3/(x-2)f₂(x) = 1/(x²-9)f₃(x) = 2+1/xZoom: x(-6…6) y(-6…6)

Comments

Merci beaucoup! :)

Answer 2

Zu a) alles richtig.

Zu b) c) Zeichen mit Funktionenplotter. Dann aufschreiben, was du siehst.

Comments

Braucht man für Aufgabe b nicht lim?

Also zum Beispiel zu Funktion f: lim [ x→ +- ∞] $\frac{3}{x-2}$

Wäre das Ergebnis der Grenzwert oder die Asymptote?

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Asymptote ist hier die negative bzw. die positive x-Achse, der Grenzwert (lim) ist in beiden Fällen Null.