Funktionsuntersuchung Exponentialfunktion (Analysis)

Question

Hallo,

kann mir jemand bei der Funktionsuntersuchung von dieser Funktionen helfen?

f(x) = 2\( x^{2} \) * e\( x^{-x} \)

1. Bestimmung der maximalen Defintionsmenge

2. Globales Verhalten der Funktion für sehr kleine und sehr große x-Werte mit der Bestimmung der Asymptote.

3. Bestimmung der Symmetrie (Punktsymmetrie, Achsensymmetrie oder eventuell keins)

4. Bestimmung der Nullstellen (mit/ohne VZW)

5. Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse

6. Bestimmung der 1,2 & 3 Ableitung

7. Bestimmung der Extrempunkte

8. Bestimmung der Wendepunkte

9. Erstellung einer Wertetabelle (mit Nullstellen, Extrempunkte & Wendepunkte)

Ich weiß, wie man eigentlich ganz normale Funktionen untersucht, aber da dies ein neues Thema ist, verstehe ich nicht genau, wie ich es machen soll, denn es existieren mehrere Variablen.

Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen

Comments

Heißt es vielleicht  f(x) = 2x^2 * e^(-x).

Dann sind es nicht mehrere Variablen; denn e^(-x) kommt von

der natürlichen Exponentialfunktion ( e-Funktion) .

Die Ableitung ist z.B. -e^(-x) .

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Ja, schuldige!

Es ist tatsählich f(x) = 2x^2 • e^-x

Answer 1

f ( x ) = 2 x^2 * e^(-x)

1. Bestimmung der maximalen Defintionsmenge
D = ℝ
Bezüglich der Definitionsmenge gibt es keine
Einschränkungen

2. Globales Verhalten der Funktion für sehr kleine und sehr große x-Werte mit der Bestimmung der Asymptote.

3. Bestimmung der Symmetrie (Punktsymmetrie, Achsensymmetrie oder eventuell keins)
Achsensymmetrie
f ( x ) = f ( -x )
2 x^2 * e^(-x) = 2 (-x)^2 * e^(+x)
e^(-x) = e^(x) falsch
Punktsymmetrie
f ( x ) = - f (-x)
2 x^2 * e^(-x) = - [ 2 (-x)^2 * e^(+x) ]
2 x^2 * e^(-x) = - 2 (-x)^2 * e^(+x) ]  falsch

4. Bestimmung der Nullstellen (mit/ohne VZW)
2 x^2 * e^(-x) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
2 x^2 * e^(-x) = 0
Die e Funktion kann niemals null werden
2 x^2 = 0
x^2 = 0
x = 0
Berührpunkt

5. Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse
f ( 0 ) = 2 * 0^2 * e^(-0)  = 0
( 0 | 0 )

6. Bestimmung der 1,2 & 3 Ableitung
f ( x ) = 2 x^2 * e^(-x)
1.Ableitung
Produktregel
u = 2 * x^2
u ´ = 4 * x
v = e^(-x)
v ´ = - e^(-x)
u´ * v + u * v´
4 * x * e^(-x) + 2 * x^2 * - ( e^-x)
f ´( x ) = e^(-x) * ( 4 * x - 2 * x^2 )
2.Ableitung
u = ( 4x - 2*x^2)
u ´ = ( 4 - 4x )
v = e^(-x)
v ´ = - e^(-x)
u´ * v + u * v´
( 4 - 4x ) * e^(-x) + ( 4x - 2x^2 ) * - e^(-x)
e^(-x) * ( 4 - 4x - 4x + 2x^2 )
f ´´ ( x ) = e^(-x) * ( 2x^2 - 8x + 4 )

7. Bestimmung der Extrempunkte
f ´( x ) = e^(-x) * ( 4 * x - 2 * x^2 ) = 0
e^(-x) * ( 4 * x - 2 * x^2 ) = 0
4 * x - 2 * x^2 = 0
x = 0
und
x = 2

8. Bestimmung der Wendepunkte
f ´´ ( x ) = e^(-x) * ( 2x^2 - 8x + 4 )
( 2x^2 - 8x + 4 ) = 0

x = 2 - √ 2
und
x = 2 + √ 2

9. Erstellung einer Wertetabelle (mit Nullstellen, Extrempunkte & Wendepunkte)

Bei Bedarf nachfragen

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Dankeschön :)!

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gestern abend war es mir zu spät

f ( x ) = 2 x^2 * e^(-x)

2. Globales Verhalten der Funktion für sehr kleine und sehr große x-Werte mit der Bestimmung der Asymptote.

lim x -> -∞ 2 x^2 * e^(-x) = 2 (-∞)^2 * e^(-(-∞)) = ∞
lim x -> +∞ 2 x^2 * e^(-x) = 2 (+∞)^2 * e^(-(+∞)) = 0
Die Asymptote ist y = 0

Answer 2

Hallo,

Die Kurvendiskussion wird genauso getan, wie Du es kennst:

Anbei einige Ergebnisse zum Vergleichen:

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Dankeschön! :)

Answer 3

Ich weiß, wie man eigentlich ganz normale Funktionen untersucht.

f(x) = 2x² e^-x ist eine ganz normale Funktion.

denn es existieren mehrere Variablen.

In der Funktionsgleichung gibt es nur eine Variable, x.

Das e ist keine Variable sondern die Eulersche Zahl. Eine Besonderheit dieser Zahl ist, dass

        g(x) = e^x

die Ableitung

        g'(x) = e^x

hat. Die Ableitung von e^-x berechnet man mit der Kettenregel und die von 2x²e^-x mit der Produktregel. Außerdem wirst du noch den Satz vom Nullprodukt benötigen:

        Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

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Vielen Dank!