Beweis einer Relation R zwischen M und N mit f = R∗ gibt, wenn für jede Teilmenge ¨ A ⊆ P(M) stets f(∪A) = ∪f(A) gilt.

Question

Aufgabe:

Seien M, N Mengen und f : P(M) → P(N) eine Funktion. Zeigen Sie, dass es genau
dann eine Relation R zwischen M und N mit f = R∗ gibt wenn für jede Teilmenge ¨
A ⊆ P(M) stets

f(∪A) = ∪f(A) gilt.

Problem/Ansatz:

mir fehlt ein Ansatz wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Das würde mir schon helfen, es ist eine Übungsaufgabe so eine ähnliche Aufgabe soll in der Klausur drankommen falls jemand mir vielleicht auch eine Lösung zeigen kann wäre ich sehr, sehr dankbar!

LG und

Comments

Folgendes ist die Antwort für die Frage falls es nochmal jemand braucht oder es jemanden interessiert.

R∗:A→R(A)={y:x∈A&(x,y)∈R}.

Wenn jetzt also f=R∗ ist, dann betrachten f(∪A).
Sei y beliebig aus f(∪A)=R∗(∪A). Dann gibt's per Definition ein x∈∪A, so dass (x,y)∈R. Also gibt's ein A, so dass x∈A. Damit wieder per Definition y∈R∗(A)=f(A)⊂∪f(A). Also, f(∪A)⊂∪f(A).
Sei y beliebig aus ∪f(A). Dann gibt's ein A, so dass y∈f(A). Damit gibt's ein x aus A mit (x,y)∈R. Aber x liegt auch in ∪A, also folgt y∈f(∪A).
Damit ist gezeigt, dass ∪f(A)⊂f(∪A).
Insgesamt haben ∪f(A)=f(∪A).

Sei umgekehrt ∪f(A)=f(∪A).
Definieren R so: (x,y)∈R <=>y∈f({x}). In diesem Fall haben
R∗({x})=R({x})={y:(x,y)∈R}=f({x}).
Und weiter R∗(A)=R(A)={y:x∈A&(x,y)∈R}=∪x∈A{y:(x,y)∈R}=∪x∈Af({x})=f(∪x∈A{x}) nach Voraussetzung. Aber klar gilt ∪x∈A{x}=A.
Damit haben R∗(A)=f(A) für alle A bewiesen.
Also wir haben R so definiert, dass R∗=f. Damit ist die Existenz von solcher R bewiesen.