Nun, f ( x ) ist an den Stellen x = 1 und x = 2 differenzierbar, wenn die Definitionsstücke von f ( x ) an ihren Randstellen denselben Funktionswert und dieselbe Steigung haben.
Aus dem parameterlosen zweiten Definitionsstück - x 5 + 3 x 2 + 2 kann man errechnen, welche Werte dies sein müssen:
Für die Funktionswerte gilt an der Stelle x = 1:
- x 5 + 3 x 2 + 2 = 4
und an der Stelle x = 2:
- x 5 + 3 x 2 + 2 = - 18
Für die Steigungen gilt an der Stelle x = 1:
- 5 x 4 + 6 x = 1
und an der Stelle x = 2
- 5 x 4 + 6 x = - 68
Daher muss das Definitionsstück a x 2 + b x an der Stelle x = 1 ebenfalls den Funktionswert 4 und seine Ableitung 2 a x + b den Wert 1 haben, während das Definitionsstück a x 2 + 4 c x - d an der Stelle x = 2 den Funktionswert - 18 und seine Ableitung 2 a x + 4 c den Wert - 68 haben muss. Es muss also gelten:
a + b = 4
2 a + b = 1
4 a + 8 c - d = - 18
4 a + 4 c = - 68
Löst man dieses Gleichungssystem , so erhält man:
a = - 3
b = 7
c = - 14
d = - 106
Das sind die gesuchten Werte.
Die Funktion f muss also lauten:
$$f(x)=\left\{ \begin{matrix} -3{ x }^{ 2 }+7x\quad für\quad x\le 1 \\ -{ x }^{ 5 }+3{ x }^{ 2 }+2\quad für\quad 1<x\le 2 \\ -3{ x }^{ 2 }-56x+106\quad für\quad x>2 \end{matrix} \right\}$$
um an den Stellen x = 1 und x = 2 differenzierbar zu sein.
