Nach wie vielen Jahren hat sich die Bevölkerung verdoppelt?

Question

Eine Bevölkerung wachse mit einer konstanten Wachstumsrate von 2% pro Jahr.

Nach wie vielen Jahren hat sich die Bevölkerung verdoppelt?

Also klar:
1.02^n = 2
n ≈ 35

Das Problem ist, der Wert soll ohne Taschenrechner bestimmt werden. Wie macht man das?

Comments

Ohne Taschenrechner?

Gar nicht (bzgl der Näherung n≈35). Das ist eigentlich schon recht eindeutig eine Aufgabe, wo man den Taschenrechner bemühen darf.

Ist die Anwendung des Logarithmus nicht erlaubt/unbekannt, kann zumindest mit Newton oder Ähnlichem die Lösung angenähert werden (aber auch hier -> Taschenrechner erlaubt/von Nöten).

P.S.: Schon das Ergebnis deutet auf die Verwendung eines TRs hin! Bzw. man gibt sich mit der exakten Form zufrieden.

Answer 1

Hi,

ohne Taschenrechner kann man das nur exakt stehen lassen (und das ist ja eigentlich "besser").

x = ln(2)/ln(1,02)

Um den Wert in etwa als Dezimalzahl anzugeben (abzuschätzen), darf aber sicher ein TR verwendet werden.

Ist der Logarithmus unbekannt, dann halt über ein Näherungsverfahren (Newton).

 

Grüße

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Danke. Die Aufgabe ist aus einem Übungsblatt der Uni welches ohne TR bearbeitet werden soll.
Also würde man es exakt stehen lassen. Meine Frage rührte daher das in anderen Fragen dann gesagt wird lassen sie das Ergebnis in exakter Form stehen. Also wurde der Hinweis hier wohl dann nur vergessen.

Danke. Ich dachte ich muss das im Kopf ausrechnen.

---

Ja, sehe ich auch so. Exakt stehen lassen.

Gerne ;)

Answer 2

Die Aufgabe muss natürlich auch ohne TR lösbar sein, denn auch vor der Erfindung des TR gab es bereits Logarithmentafeln und die darin aufgeführten Werte muss ja schließlich jemand ohne TR ausgerechnet haben.

1,02 ⁿ = 2

<=> ln ( 1,02 ⁿ ) = ln ( 2 )

<=> n * ln ( 1,02  ) = ln ( 2 )

<=> n = ln ( 2 ) / ln ( 1,02 )

Mit Hilfe einer Logarithmentafel kann man die ungefähren Werte von ln( 2 ) ( ≈ 0,693147 ) und ln ( 1,02 ) ( ≈ 0,019803 ) ermitteln und dann die erforderliche Division durchführen. Das geht sicher auch ohne Taschenrechner.

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Es stehen keine Logarithmentafeln zur Verfügung. Und wenn dann müsste man eventuell

LN(2) / (LN(51) - LN(50))

rechnen, weil es sicher für 1.02 auch keine Logarithmentafel gibt. Aber ok. Meine Frage war ja schon beantwortet. Ohne Logarithmentafel heißt es also die Rechnung exakt stehen zu lassen. Das selber ist kein Problem. War mir halt nur unsicher.

Aber auch dir herzlichen Dank für die schnelle Antwort.