Question

Gib für jeden Staat an, nach wie vielen Jahren sich die Einwohnerzahl verdoppelt hat.

	Jährliches Bevölkerungswachstum
Libyen	2 %
Australien	1 %
Somalia	2,8 %
Iran	1,4 %
Kasachstan	0,7 %

b) Wenn die Bevölkerung Tansanias weiter so wächst wie heute, wird sich die Einwohnerzahl in 28 Jahren verdoppelt haben. Wie groß ist das jährliche Bevölkerungswachstum?

Answer 1

du kennst doch die allgemeine Formel für exponentielle Prozesse:

$$ N(t)=a_0\cdot q^t \\a_0:Anfangswert\ bei \ t=0\\q: Wachstumsfaktor\\Zunahme\quad q=1+\frac{q\ [in\ Prozent]}{100}\\ Abnahme\quad q=1-\frac{q\ [in\ Prozent]}{100}$$

Jetzt setzt du einfach alles in diese Formel da oben ein und stellst nach t um.

$$ 2=1\cdot \Big(1+\frac{2}{100}\Big)^t \\2=1,02^t\quad |\ln(.)\\\ln(2)=t\cdot \ln(1,02)|:\ln(1,02)\\t=\frac{\ln(2)}{\ln(1,02)}\approx 35$$

Comments

in der 5. und 6. Zeile sollte es wohl

q = 1 ±  p[in Prozent] / 100   heißen, sonst macht das keinen Sinn.

             ( p %  ist der Prozentsatz)

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Nein das in den eckigen Klammern sollte halt signalsieren das Wachstum q in Prozent anzugeben. Aber ja, so sieht das bei dir auch gut aus, vielleicht sogar klarer.

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Nein das in den eckigen Klammern sollte halt signalsieren das Wachstum q in Prozent anzugeben.

Doch!

bei einem Wachstum ist q immer größer als 100%

Wachstum p =2%  →  Wachstumsfaktor  q = 1 + 2/100  = 1,02  [ = 102 % ]

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Hmm, ok.

Habs halt so immer gemacht, ohne eine neue Variable extra dafür einzuführen.

Answer 2

Libyen:  Heute K Persone, nach n Jahren  sind es  1,02^n * K Personen.

Verdoppelt heißt:

          1,02^n * K = 2*K   also

               1,02^n = 2    logarithmieren

          n*ln(1,02) = ln(2)

                   n = ln(2) / ln(1.02) =  0,693... / 0,0198...    = 35,000...

Also nach 35 Jahren Verdoppelung.

Bei den anderen entsprechend, z.B. bei Australien statt 1,02 mit 1,01 rechnen.

Answer 3

Hallo

Beispiel Libyen 2% d.h pro Jahr vergrößert sich B um den Faktor (1+2%)=1,02

d.h in n Jahren auf B(n)= B*1,02^n

wann ist B verdoppelt? B(n)=2B, also 2B=B*1,02^n, 1,02^n=2

jetz log oder ln anwenden

log(1.02^n)=log(2), n*log(1.02)=log(2), n=log(2)/log(1.02)=35

die anderen Aufgaben gehen genauso!

Gruß lul