Bestimmen Sie die Menge π^-1 ((x,y)).

Question

Sei ℝxℝ die reelle Ebene, deren Elemente sind Paare (x, y) mit reellen Zahlen x, y. Wir betrachten die Teilmenge ℤxℤ, deren Elemente die Paare (a,b) sind, mit ganzen Zahlen a, b. Für (x,y), (x',y') ∈ ℝxℝ schreiben wir

(*) (x,y)≡(x',y') mod ℤxℤ: ⇔ (x - x', y - y') ∈ ℤxℤ

Wir schreiben ℝxℝ/ℤxℤ für die Menge der äquivalenzklassen bzgl. der äquivalenzrelation (*) und

π: ℝxℝ →ℝxℝ/ℤxℤ  ,   (x,y)↦π(x,y):= (x,y) (über (x,y) ist ein langezogener Strich, der über die komplette klammer geht)

für die quotientenabbildung, wobei (x,y) (hier sollte auch wieder der langezogene Strich sein) := {(x',y')∈ℝxℝ| (x',y')∈ℝxℝ | (x',y') ≡(x,y) mod ℤxℤ}

Aufgabe: sei (x,y) ∈ ℝxℝ. Bestimmen Sie die Menge π^-1 ((x,y)). (Hier wieder (x,y) mit dem Strich über die klammer)

Ich glaube, dass diese Aufgabe sehr aufwendig ist, deswegen reicht mir ein Ansatz ^^'

Answer 1

Sei \(\overline{(x,y)}\in \mathbb{R}\times\mathbb{R} / \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\).

Dann ist

\(\pi^{-1}(\overline{(x,y)})=(x,y)+\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}=\{(x+z_1,y+z_2)\; : \; z_1,z_2\in \mathbb{Z}\}\).

Comments

Danke dir :))