Ableitung mehrerer Therme

Question 1

Aufgabe:

Man berechne die Ableitung:

$$f(x)=g(x^2)+\frac{x-1}{x+3}-\sqrt{2x}$$

wobei g'(u)=2-u für alle u ≤ 2

Problem/Ansatz:

Existiert die Ableitung nun für 0 < x < √2?

Question 2

Aloha :)

Wir vereinfachen vorab die Funktion$$f(x)=g(x^2)+\frac{x-1}{x+3}-\sqrt{2x}=g(x^2)+1-\frac{4}{x+3}-\sqrt{2x}$$und denken uns bei der Ableitung, dass $u=x^2$ ist:$$\frac{df}{dx}=\underbrace{\frac{dg(x^2)}{d(x^2)}}_{=\text{äußere A}}\cdot\underbrace{\frac{d(x^2)}{dx}}_{=\text{innere A}}+\frac{4}{(x+3)^2}-\frac{\sqrt 2}{2\sqrt x}=\underbrace{(2-x^2)}_{=g(u=x^2)}\cdot2x+\frac{4}{(x+3)^2}-\frac{1}{\sqrt{2x}}$$

Da $g(u=x^2)=2-u=2-x^2$ nur für $u<2$ bzw. für $x^2<2$ bekannt ist, muss $-\sqrt2<x<\sqrt2$ gelten. Wegen der Existenz des Terms $\frac{1}{\sqrt{2x}}$ muss zusätzlich $x>0$ gelten. Also exisitiert die Ableitung für $0<x<\sqrt2$.

Question 3

Besten Dank!!!!

Question 4

In der Aufgabe stand

g'(u) = 2 - u

Mag natürlich sein, dass das ein Tippfehler war. Das sollte aber irgendwie geklärt werden.

Question 5

Das war kein Tippfehler, sondern genau darum ging es in der Aufgabe. Es musste die Substitution $u=x^2$ vorgenommen und dann die Kettenregel angewendet werden:

$$\frac{dg}{dx}=\frac{dg}{du}\cdot\frac{du}{dx}=g'(u=x^2)\cdot\frac{d(x^2)}{dx}=(2-x^2)\cdot2x$$

Tschakabumba · Answer 1 · 2020-12-05T20:42:32+0000

Aloha :)

Wir vereinfachen vorab die Funktion$$f(x)=g(x^2)+\frac{x-1}{x+3}-\sqrt{2x}=g(x^2)+1-\frac{4}{x+3}-\sqrt{2x}$$und denken uns bei der Ableitung, dass $u=x^2$ ist:$$\frac{df}{dx}=\underbrace{\frac{dg(x^2)}{d(x^2)}}_{=\text{äußere A}}\cdot\underbrace{\frac{d(x^2)}{dx}}_{=\text{innere A}}+\frac{4}{(x+3)^2}-\frac{\sqrt 2}{2\sqrt x}=\underbrace{(2-x^2)}_{=g(u=x^2)}\cdot2x+\frac{4}{(x+3)^2}-\frac{1}{\sqrt{2x}}$$

Da $g(u=x^2)=2-u=2-x^2$ nur für $u<2$ bzw. für $x^2<2$ bekannt ist, muss $-\sqrt2<x<\sqrt2$ gelten. Wegen der Existenz des Terms $\frac{1}{\sqrt{2x}}$ muss zusätzlich $x>0$ gelten. Also exisitiert die Ableitung für $0<x<\sqrt2$.

In der Aufgabe stand
g'(u) = 2 - u
Mag natürlich sein, dass das ein Tippfehler war. Das sollte aber irgendwie geklärt werden. — Der_Mathecoach, 5 Dez 2020
Das war kein Tippfehler, sondern genau darum ging es in der Aufgabe. Es musste die Substitution $u=x^2$ vorgenommen und dann die Kettenregel angewendet werden:
$$\frac{dg}{dx}=\frac{dg}{du}\cdot\frac{du}{dx}=g'(u=x^2)\cdot\frac{d(x^2)}{dx}=(2-x^2)\cdot2x$$ — Tschakabumba, 5 Dez 2020

Ableitung mehrerer Therme

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