Ableitung mehrerer Therme

Question

Aufgabe:

Man berechne die Ableitung:

$$f(x)=g(x^2)+\frac{x-1}{x+3}-\sqrt{2x}$$

wobei g'(u)=2-u für alle u ≤ 2

Problem/Ansatz:

Existiert die Ableitung nun für 0 < x < √2?

Answer 1

Aloha :)

Wir vereinfachen vorab die Funktion$$f(x)=g(x^2)+\frac{x-1}{x+3}-\sqrt{2x}=g(x^2)+1-\frac{4}{x+3}-\sqrt{2x}$$und denken uns bei der Ableitung, dass \(u=x^2\) ist:$$\frac{df}{dx}=\underbrace{\frac{dg(x^2)}{d(x^2)}}_{=\text{äußere A}}\cdot\underbrace{\frac{d(x^2)}{dx}}_{=\text{innere A}}+\frac{4}{(x+3)^2}-\frac{\sqrt 2}{2\sqrt x}=\underbrace{(2-x^2)}_{=g(u=x^2)}\cdot2x+\frac{4}{(x+3)^2}-\frac{1}{\sqrt{2x}}$$

Da \(g(u=x^2)=2-u=2-x^2\) nur für \(u<2\) bzw. für \(x^2<2\) bekannt ist, muss \(-\sqrt2<x<\sqrt2\) gelten. Wegen der Existenz des Terms \(\frac{1}{\sqrt{2x}}\) muss zusätzlich \(x>0\) gelten. Also exisitiert die Ableitung für \(0<x<\sqrt2\).

Comments

Besten Dank!!!!

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In der Aufgabe stand

g'(u) = 2 - u

Mag natürlich sein, dass das ein Tippfehler war. Das sollte aber irgendwie geklärt werden.

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Das war kein Tippfehler, sondern genau darum ging es in der Aufgabe. Es musste die Substitution \(u=x^2\) vorgenommen und dann die Kettenregel angewendet werden:

$$\frac{dg}{dx}=\frac{dg}{du}\cdot\frac{du}{dx}=g'(u=x^2)\cdot\frac{d(x^2)}{dx}=(2-x^2)\cdot2x$$