Aufgabe:
Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} \) die Funktion definiert durch
\(f(x, y):=\left\{\begin{array}{ll} \left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) & \text { für }(x, y) \neq(0,0), \\ 0 & \text { für }(x, y)=(0,0) .\end{array}\right. \)
Wir wollen zeigen, dass \( f \) an der Stelle \( (0,0) \) differenzierbar ist, aber die partiellen Ableitungen \( \frac{\partial f}{\partial x} \) und \( \frac{\partial f}{\partial y} \) an der Stelle \( (0,0) \) nicht stetig sind.
Problem/Ansatz:
Um zu zeigen, dass \(f\) an der Stelle \((0,0)\) differenzierbar ist, müssen wir eine lineare Funktion \(L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) finden, sodass
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.$$
Wir werden die Tatsache verwenden, dass
$$\left|\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\right|\leq 1$$
für alle \((x,y)\neq(0,0)\). Dann haben wir
\( \begin{aligned}\left|\frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right| & =\left|\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)\right| \\ & \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}} .\end{aligned} \)
Daher können wir \(L(x,y)=0\) wählen und die obige Grenze ist gleich Null, was zeigt, dass \(f\) an der Stelle \((0,0)\) differenzierbar ist.
Um zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen an der Stelle \((0,0)\) nicht stetig sind, werden wir sie direkt berechnen. Wir haben
\(\begin{aligned}\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{h^2\sin(1/|h|)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}h\sin(1/|h|). \end{aligned}\)
Da \(|\sin(1/|h|)|\leq 1\) für alle \(h\neq 0\) gilt, haben wir
$$\lim_{h\to 0}h\sin(1/|h|)=0.$$
Daher ist \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0\). Ähnlich können wir zeigen, dass \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0\).
Nun betrachten wir die Grenze
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$
Wir haben
\(\begin{aligned} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}&=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\left(\frac{(x^2+y^2)\sin(1/\sqrt{x^2+y^2})-x^2\sin(1/|x|)}{x}\right)\\ &=\sqrt{x^2+y^2}\frac{\sin(1/\sqrt{x^2+y^2})-\sin(1/|x|)}{x}. \end{aligned}\)
Da \(|\sin(1/\sqrt{x^2+y^2})|\leq 1\) und \(|\sin(1/|x|)|\leq 1\) für alle \((x,y)\neq(0,0)\) gilt, haben wir
$$\left|\sqrt{x^2+y^2}\frac{\sin(1/\sqrt{x^2+y^2})-\sin(1/|x|)}{x}\right|\leq \sqrt{x^2+y^2}.$$
Daher ist die obige Grenze gleich Null, was zeigt, dass \(\frac{\partial f}{\partial x}\) an der Stelle \((0,0)\) nicht stetig ist. Ähnlich können wir zeigen, dass \(\frac{\partial f}{\partial y}\) an der Stelle \((0,0)\) nicht stetig ist.
Ist das richtig so? Lasst gerne feedback da!
