Bestimmen Sie die Potenzreihe von 1/(1-x)^4.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Potenzreihe von 1/(1-x)^4.

Problem/Ansatz:

ich habe leider noch nie Potenzreihen bestimmt und auch ist mir nicht klar, wie ich das Cauchy-Produkt anwenden soll, wenn es mehr als zwei Faktoren sind.

Die Aufgabe ist es, die Potenzreihe von 1/(1-x)^4 zu bestimmen. Wir haben das Beispiel zu 1/(1-x)^2 über die geometrische Reihe gemacht. Wie bekomme ich das jetzt hin wenn ich habe 1/(1-x)^4 = 1/(1-x) * 1/(1-x) * 1/(1-x) * 1/(1-x) ??

Answer 1

Du könntest dreimal integrieren, die Potenzreihe davon bilden und selbige wieder dreimal ableiten.

Variante 2:

Schreibe (1-x)^4 als 1-4x+6x^2-4x^3+x^4 = 1-(4x-6x^2+4x^3-x^4), womit du eine geometrische Reihe mit q=(4x-6x^2+4x^3-x^4) hättest.

Variante 3:

Taylorentwicklung nach Definition

Comments

Eine Frage für deine Variante 2.

Wie kommt man weiter? Also ich habe mir das selbe überlegt, aber irgendwie komme ich nicht weiter. Wie soll ich das Cauchy-Produkt benutzen?

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Das war eher eine theoretische Überlegung, wie man es ansetzen KÖNNTE.

Bei der praktischen Umsetzung mit q=(4x-6x²+4x³-x⁴) kommt man auf

1+ (4x-6x²+4x³-x⁴) + (4x-6x²+4x³-x⁴)^2 + ...

was eher suboptimal ist.

Man kann zwar aus diesem Ansatz herauslesen, dann man dabei

1     (einziger konstanter Summand)

+4x   (einziges lineares Glied)

-6x² +16x² (ergibt sich aus der ersten und zweiten Klammer),

aber spätestens jetzt wird es für die höheren Potenzen von x mit jeder weiteren Klammer, die weitere Summanden bringt, nicht mehr vernünftig beherrschbar.

Ein Ansatz zum Probieren und anschließendem Wegwerfen...

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Ok danke!

Und wie würde man vorgehen, wenn man diese Aufgabe unter Anwendung der geometrischen Reihe und der Cauchy-Produkt lössen sollte?

Answer 2

Aloha :)

Es ist oft gar keine schlechte Idee, das in der Vorlesung Besprochene bei den Übungen zu verwenden. Daher gehen wir von der Summenformel für die geometrische Reihe aus$$\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}\quad\text{für }|x|<1$$und leiten beide Seiten ein paar Mal ab:

$$\frac{1}{(1-x)^2}=\sum\limits_{k=0}^\infty k x^{k-1}=\sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)x^k$$

$$\frac{2}{(1-x)^3}=\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)kx^{k-1}=\sum\limits_{k=1}^\infty (k+1)kx^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)x^k$$

$$\frac{6}{(1-x)^4}=\sum\limits_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)kx^{k-1}=\sum\limits_{k=1}^\infty (k+2)(k+1)kx^{k-1}$$$$\phantom{\frac{6}{(1-x)^4}}=\sum\limits_{k=0}^\infty (k+3)(k+2)(k+1)x^k$$

steht die Gesuchte schon da in ihrer ganzen Pracht ;)

$$\frac{1}{(1-x)^4}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(k+3)(k+2)(k+1)}{6}x^k\quad\text{für }|x|<1$$