Zeige, dass M+M^T symmetrisch ist.

Question

Gegeben sei die (n x m) - Matrizen M und N. Zeigen sie, dass:

\( \left(M^{T}\right)^{T}=M \quad \) und \( \quad(M+N)^{T}=M^{T}+N^{T} \)

Folgern Sie für \( M \in \mathbb{R}^{n, n}, \) dass \( \left(M+M^{\top}\right) \) symmetrisch ist

Answer 1

Hallo,

wir verwenden für zwei Voraussetzungen:

\((\text{i}) \, (M^T)^T=M\) und \((\text{ii}) \, (M+N)^T=M^T+N^T\)

Um zu zeigen, dass \(M+M^T\) symmetrisch ist, muss \((M+M^T)^T=M+M^T\) sein.

Das lässt sich leicht einsehen:$$(M+M^T)^T\overset{(\text{ii})}=M^T+(M^T)^T\overset{(\text{i})}=M^T+M=M+M^T \quad \Box$$ Im letzten Schritt habe ich noch die Kommutativität der Matrixaddition verwendet.

Comments

Danke racine_carrée ich habe es verstanden!

Woher weißt du so viel über Mathe?

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Woher weißt du so viel über Mathe?

Ich spaziere in den Bergen.