Kubische Gleichung in Restklasse lösen

Question

Aufgabe:

wie kann man solche  Gleichung lösen

x³  _{- 2   =  0  (d.h [ x ]}³ _{- [ 2 ] = [ 0 ]  ) in Z6 und in Z8} 

Comments

Zweit-, Dritt- oder Viertaccount?

Answer 1

Brute-Force-Methodisch kannst du da so rangehen, dass du jeweils einen Repräsentanten aus der Restklasse einsetzt und schaust, ob es eine Lösung gibt:

Beispiel: \(\mathbb{Z}_6=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, ...., \overline{6}\}\):$$\begin{cases}x=0 \, : \, 0^3-2=-2 \not \equiv 0\pmod{6} \\x=1 \, : \, 1^3-2=-1\not \equiv 0\pmod{6} \\ x=2 \, : \,   2^3-2=6 \equiv 0\pmod{6} \quad \checkmark \\ \vdots \end{cases} $$

Comments

Oder:$$x^3\equiv 2 \pmod{6} \Leftrightarrow x^3\equiv 8 \pmod{6} \implies x=2+6n$$