Die Ordnung einer Restklasse innerhalb einer Einheitengruppe herausfinden?

Question

Aufgabe:

Was ist die Ordnung der Restklasse 40 in der Einheitengruppe des Restklassenkörpers
Z223?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, wie man die Ordnung eines Restklassenkörpers ausführt. Was mich nur verwirrt, dass er aus 223 einheiten besteht obwohl die Restklasse 40 ist. Wäre das so: Phi(223) = 222, da 223 eine Primzahl ist und alle unteren Einheiten inventierbar. Wie finde ich dann die Ordnung von 40? Muss ich den ggt anwenden?

Answer 1

Du suchst also das kleinste x mit

40^x ≡ 1  mod 223

Da  ggT(40 ;223 ) kannst du Euler anwenden:

40^φ(223) ≡ 1  mod 223

Wenn es einen kleineren Exponenten gibt, bei dem das auch klappt,

dann muss es ein Teiler von φ(223) = 222 sein.

Wegen 222=2*3*37  gibt es davon nicht sehr viele.

Wenn du etwas probierst findest du

40^2 = 1600 ≡ 39 mod 223

40^3=64000 ≡ 222  mod 223 oder auch

64000 ≡ -1  mod 223   , also ist das Quadrat davon

kongruent zu 1 und somit 40^6 ≡ 1 mod 223.

Da hätte man Euler gar nicht bemühen müssen.