Einheitengruppen bestimmen

Question

Ich soll die Einheitengruppen bestimmen von

a.)R=ℤ₁₂

b.)R= ℤ₄ x ℤ₅  

c.)R={f:ℤ→ℝΙ f ist eine Abbildung}

Bei der a.) hätte ich jetzt als Einheitengruppe {[1],[5],[7],[11]}

bei der b.) für Z₄ {1,3} und für Z₅ {1234}, aber ich weiß nicht wie ich das als Produkt zusammenbekomme

und bei der c.) weiß ich keinen Ansatz,

Answer 1

> ich weiß nicht wie ich das als Produkt zusammenbekomme

Genau so wie ℤ₄ x ℤ₅  aus ℤ₄ und ℤ₅ zusammengebaut wurde.

> R={f:ℤ→ℝΙ f ist eine Abbildung}

Einheitengruppe ist {f: ℤ→ℝ | ∀x∈ℤ f(x) ≠ 0}.

Answer 2

b) Hier ist ja die Multiplikation wohl so definiert

(a;b) * (c;d ) = (a*c , b*d)   und die "1" con R ist dann (1 ; 1 ) .

Also die Einheitengruppe  {1,3}x {1,2,3,4}.

c) In
R = {f:ℤ→ℝΙ f ist eine Abbildung} muss man also überlegen, für welche

f aus R es ein g aus R gibt mit f*g = 1

Die "1" ist die Abbildung, die alles aus 1_IR  abbildet.

Und Produkt f*g ist ja wohl so definiert, die Abb.

die jedes x aus  f(x)*g(x) abbildet.

Also hat f immer dann so eine Abbildung g, wenn f keine Nullstellen

hat. Dann ist die Einheitengruppe wohl

{f:ℤ→ℝΙ f ist eine Abbildung mit f(x)≠0 für alle x aus Z}

Comments

Vielen lieben Dank! Also muss ich bei  {1,3}x {1,2,3,4}. gar nichts ausrechnen?

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Wenn du möchtest, darfst du {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)} anstatt {1,3}x {1,2,3,4} schreiben.