Ist in der abelschen Gruppe (ℤ,+) jedes Element in sich selbst invers?

Question

Aufgabe:

Ist in der abelschen Gruppe (ℤ,+) jedes Element in sich selbst invers?

Problem/Ansatz:

Hallo Allerseits,

Die Frage ist tastächlich sehr kurz und knapp, ein Freund von mir meint die Elemente sind alle invers, ein Anderer vermutet, dass in der abelschen Gruppe (ℤ,+) nicht alle Elemente in sich selbst invers sind. Kann wer weiterhelfen?

Answer 1

Wenn jedes Element zu sich selbst invers wäre,

wäre $z=-z$ für alle ganzen Zahlen $z$, d.h. $2z=0$, also $z=0$,

damit bestünde die Menge der ganzen Zahlen nur aus der Null.