Gruppen, Monoid, Einheitengruppe

Question

Aufgabe:

M ist ein Monoid

Die Menge der invertierbaren Elemente ist E(M) ist die Einheitengruppe zu M

Jetzt gilt zu zeigen :

- Die Einheitengruppe E(M) ist eine Gruppe

- Hat M unendliche viele Elemente, so hat auch E(M) unendlich viele Elemente

- Sei M = R mit ◦ = · . Dann ist E(M) = R

Problem/Ansatz:

Ein Monoid ist abgeschlossen, assoziativ und hat ein neutrales Element.

Wenn also M ein Monoid ist und E(M) die Menge der inversen Elemente ist, wie kann E(M) dann überhaupt ein Element haben, da ein Monoid keine inversen Elemente hat? Ich glaube in E(M) ist nur 1 Element enthalten, welches das neutrale Element ist.

Wie ich zeigen kann das E(M) eine Gruppe ist bin ich mir nicht sicher.

E(M) müsste dementsprechend abgeschlossen und assoziativ sein und dazu ein neutrales und inverses Element haben.

Zu dem dritten denke ich ist E(M) , R\0

Answer 1

Menge der inversen Elemente

Menge der invertierbaren Elemente.

da ein Monoid keine inversen Elemente hat

Es stimmt nicht, dass ein Monoid keine invertierbaren Elemente hat.

Es stimmt auch nicht, dass ein Quadrat kein Rechteck ist.

Ich glaube in E(M) ist nur 1 Element enthalten

Die Menge der positiven reellen Zahlen ist mit der Multiplikation ein Monoid. Trotzdem sind alle positiven reellen Zahlen invertierbar.

Wie ich zeigen kann das E(M) eine Gruppe ist

Indem du zeigst, dass E(M) nicht leer ist und dass E(M) bezüglich der Verknüpfung des Monoids abgeschlossen ist.

E(M) müsste dementsprechend abgeschlossen und assoziativ sein

Assoziativität folgt direkt aus der Assoziativität des Monoids.