Komplexe Zahlen und Polarkoordianten

Question

Aufgabe:

Wie viele verschiedene z ∈ C gibt es mit z^5 = 32? Geben Sie alle Lösungen in Form von Polarkoordinaten an, d.h.in der Form r*e^(i*φ), mit r ≥ 0 und φ ∈ [0, 2π).

Problem/Ansatz:

Hallo, könnte mir jemand erklären, wie genau ich die Aufgabe lösen kann?

Danke!

Comments

z5 = 32→ Du meinst sicherlich \(z^5=32\)

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Ja genau, sorry, war ein Tippfehler!

Answer 1

Es gibt 5 z's sodass z^5 = 32

Hier eine Skizze

z^5 = 32 = 2^5·e^((k·2·pi)·i)

z = 2·e^((k/5·2·pi)·i) für k = 0 bis 4

Comments

Dankeschön! Lieb für die Hilfe, hat sehr geholfen!

Answer 2

Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen werden die Beträge multipliziert.

Für \(z\in\mathbb{C}\) mit \(z^5 = 32\) muss also \(|z| = 2\) gelten.

Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen werden die Argumente addiert. Das Argument einer komplexen Zahl ist der Winkel zwischen reeller Achse und der Strecke zwischen Ursprung und Zahl in der Gaußschen Zahlenebene.

Für \(z\in\mathbb{C}\) mit \(z^5 = 32\) muss also \(5\cdot \arg z\) ein ganzzahliges Vielfaches von \(2\pi\) sein, weil \(\arg 32 = 0\) ist.

\(5\cdot \alpha = n\cdot 2\pi \iff \alpha = n\cdot \frac{2}{5}\pi\).

Für jedes \(n\in \mathbb{Z}\) bekommst du einen geeigneten Winkel \(\alpha\). Allerdings bekommst du für verschiedene Werte von \(n\) das gleiche Argument. Zum Beispiel repräsentiert der Winkel \(3\cdot \frac{2}{5}\pi\) das gleiche Argument wie \(8\cdot \frac{2}{5}\pi\) wegen

        \(3\cdot \frac{2}{5}\pi = \frac{6}{5}\pi\)

und

        \(8\cdot \frac{2}{5}\pi = \frac{16}{5}\pi = \frac{10}{5}\pi+\frac{6}{5}\pi = 2\pi + \frac{6}{5}\pi\)

Answer 3

Aloha :)

Es gibt \(5\) Lösungen, eine ist offensichtlich \(z=2=2\cdot e^{i\cdot 0}\). Die anderen haben ebenfalls den Betrag \(2\) liegen aber symmetrisch auf einem Kreis in der Gauß'schen Zahlenebene verteilt. Das heißt, bei jeder Lösung musst du den Weinkel um \(\Delta\varphi=\frac{2\pi}{5}\) weiter "drehen":$$z_1=2\;;\;z_2=2e^{i\,2\pi\cdot\frac15}\;;\;z_3=2e^{i\,2\pi\cdot\frac25}\;;\;z_4=2e^{i\,2\pi\cdot\frac35}\;;\;z_5=2e^{i\,2\pi\cdot\frac45}$$