Komplexe Zahlen (Wurzel ziehen) alle Lösungen bestimmen

Question

Aufgabe:

Geben Sie jeweils alle Lösungen \( z \in \mathbb{C} \) der folgenden Gleichungen an.
(a) \( z^{3}=6 \)
(b) \( z^{10}-z=0 \)
(c) \( 9 z^{2}-18 z \mathrm{i}+7=0 \)
(d) \( z^{2}-6 \mathrm{i} z-\frac{17}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}=0 \)

Problem

a) ist z = \( \sqrt[3]{6} \) ?

b) man muss es ja erstmal in Polarkoordinaten schreiben. Wie mache ich das?

bisher:  (a+bi)¹⁰-a+bi=0

oder z¹⁰=z → z¹⁰=a+bi → r= \( \sqrt{a^2+b^2} \)

winkel = arcos(Re/r) → arcos (a/|z|)

Answer 1

Hallo,

a) hat 3 Lösungen, b) 10.

zu b)

b) man muss es ja erstmal in Polarkoordinaten schreiben. Wie mache ich das?
bisher: (a+bi)10-a+bi=0
Das sind keine Polarkoordinaten!

z^{10}-z=0

z*(z^9-1)=0

z=0 oder z^9=1

Die 9 weiteren Lösungen sind

z=1

z=e^{i·n·2π/9} für n=1;...;8

:-)

Answer 2

Bei (a)

Schreibe \(  z = re^{i \varphi} \) dann folgt

$$ z_k = \sqrt[3]{6} \cdot e^{i \frac{2 k \pi}{3} }$$ mit \( k = 0,1,2 \)

Answer 3

Hallo,

Aufgabe c)

9 z^2 -18zi +7=0  |:9

z^2 -2zi +7/9=0 --->pq-Formel

z_1.2= i ± √ (-1 -(7/9))

z_1.2= i ± √ (- 16/9)

z_1.2= i ±  i (4/3)

z₁= (7i)/3

z₂= (-i)/3