Wie integriere ich (x•e^{-x})^2 dx?

Question

Aufgabe:

Wie integriere ich (x•e^-x)^{2 dx?}

Problem/Ansatz:

mein erster Ansatz war die Substitution, daran bin ich aber gescheitert, da ich die -2x aus dem Exponenten von e nicht mit dem 2x aus dem Nenner von dt/2x kürzen konnte. Dann habe ich es mit der Ketten Regel probiert, die ich zweimal angewendet habe, komme dort aber auf ein falsches Ergebnis. Kann mir jemand einen besseren Ansatz geben oder sagen was ich falsch mache? Wäre sehr dankbar☺

Man berechne das Volumen des sich von \( x_{1}=0 \) bis \( x_{2}=4 \) erstreckenden Drehkörpers, der entsteht, wenn die Kurve \( y(x)=x \cdot e^{-x} \) um die \( x \)-Achse rotiert.

\( \begin{array}{l} \text { Subst.: } x^{2}=t, d x=\frac{d t}{2 x} \\ V_{x}=\pi \int \limits_{0}^{4}\left(x \cdot e^{-x}\right)^{2} d x=\pi \int \limits_{0}^{4} x^{2} \cdot e^{-2 x} d x=\pi \cdot\left[x^{2} \cdot e^{-2 x}\right]_{0}^{4}-\int \limits_{0}^{4} 2 x \cdot e^{-2 x} d x \\ =\pi \cdot\left[x^{2} \cdot e^{-2 x}\right]_{0}^{4}-\left[2 x \cdot e^{-2 x}\right]_{0}^{4}-2 \cdot \int \limits_{0}^{4} e^{-2 x} d x=\pi \cdot \frac{16}{e^{8}}-\frac{8}{e^{8}}-2 \cdot\left[\frac{e^{-2 x}}{-2}\right]_{0}^{4} \end{array} \)

Answer 1

mit Weg:

https://www.integralrechner.de/

Answer 2

f(x) = (x·e^(-x))^2 = x^2·e^(- 2·x)

Ansatz für eine Stammfunktion

F(x) = e^(- 2·x)·(a·x^2 + b·x + c)

F'(x) = e^(- 2·x)·(- 2·a·x^2 + (2·a - 2·b)·x + (b - 2·c))

- 2·a = 1 → a = -0.5

2·a - 2·b = 0 --> b = -0.5

b - 2·c = 0 --> c = -0.25

Also

F(x) = e^(- 2·x)·(- 0.5·x^2 - 0.5·x - 0.25) + C

Also Kontrollergebnis

∫ (0 bis 4) (pi·(x·e^(-x))^2) dx = pi/4 - 41·pi/(4·e^8) = 0.7746

Comments

Müsste nicht F' = f sein?

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Müsste nicht F' = f sein?

Genau. Deswegen mache ich damit auch einen Koeffizientenvergleich.

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Nach meinen Berechnungen ist aber F'(x) = x²·e^-x ≠ f(x).

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Danke Arsinoë4.

Hatte tatsächlich die 2 im Exponenten unterschlagen. Hab es gerade verbessert.