Beweis der Einheitengruppe

Question

Aufgabe: Beweise den Satz: Die Menge der Einheiten eines kommutativen Rings mit Einselement bildet eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, die Einheitengruppe.

Problem/Ansatz: Ich verstehe hier nicht, wie ich überhaupt anfangen soll, ohne die Menge des Rings zu wissen und damit die konkreten Einheiten. Wie soll ich hier prüfen, ob es eine Gruppe ist, also Abgeschlossenheit, Assoziativität, neutrales Element und inverses Element?

Comments

Wenn \(s\) eine Einheit ist, dann gibt es ein Ringelement \(t\) mit

\(s\cdot t = 1\). Mehr musst du über eine Einheit nicht wissen, um

die Gruppeneigenschaften zu zeigen.

Answer 1

Hallo,

sei \((R,+,\cdot)\) dieser kommutative Ring mit \(1\). Die Menge der Einheiten \(R^{\times}\), versehen mit der auf diese Teilmenge induzierten Multiplikation \(\cdot _ {|_{R^{\times}\times R^{\times}}}\), hat in der Tat Gruppenstruktur. \((R,\cdot)\) bildet eine kommutative Halbgruppe, daher wird die Assoziativität der inneren zweistelligen Verknüpfung \(\cdot\)  auf \(R^{\times}\) vererbt.

Was bedeutet es, eine Einheit zu sein?
\(a\in R\) heißt Einheit, wenn es ein \(b\in R\) gibt, so dass \(ab=ba=1\)

Wir müssen nun zeigen, dass aus \(a,b\in R^{\times}\) folgt, dass \(a\cdot b\in R^{\times}\). Seien also \(a,b\in R^{\times}\), dann exisitieren \(c,d\in R\), sodass \(ac=1=bd.\) Damit ist \(dcab=dacb=db=bd=1.\) Also ist \(ab\in R^{\times}.\) (Abgeschlossenheit)

Das Assoziativitätsgesetz wird vererbt. Weiterhin ist \(1\in R^{\times}\) (denn \(1\cdot 1=1\) (involutorisch)), d. h. neutrale Elemente existieren. Schließlich ist das zu \(a\in R^{\times}\) existierende \(b\in R\) mit \(ab=1\) ebenfalls ein Element von \(R^{\times}\). Das beweist die Existenz inverser Elemente.