Wie beweist man, dass eine Vielfaches einer Basis, ebenfalls eine Basis darstellen?

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, n ∈ ℕ und B= (v_1,...,v_n ) eine Basis von V. Sei µ ∈ K mit µ ≠ 0. Zeigen sie, dass dann auch ( µv₁ , ... , µv_n ) eine Basis von V ist.

Problem/Ansatz:

Rein von der Logik ist mir bewusst, dass das gelten muss. Nur weiss ich persönlich nicht den Ansatz. Hatte überlegt das anhand der beiden Eigenschaften von Basen (lineare Unabhängigkeit und, dass das erzeugenden System den V-Raum aufspannt) zu beweisen, weiss jedoch nicht wie ich das dann herleiten sollte.

Answer 1

Hallo

wenn die Linearkombination der vi nur mit Koeffizienten 0 Nullvektor ergibt, dann zeige, dass das auch für die Vielfachen gilt, durch einfachen Widerspruch.

Gruß lul

Comments

Soweit hatte ich die Aufgabe nachvollziehen können, nur fehlt mir die Idee wie ich so etwas beweisen könnte

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meine Idee wäre gewesen:

Bekannt ist dass λ₁ v₁ + ... + λ_n v_n = 0 gilt.

wenn man das ganze jetzt für das vielfache aufstellt

λ₁ μ v₁ + ... +λ_n μ v_n =0 dann kann man die ganze Gleichung durch μ teilen, damit erhält man die Gleichung von oben. Da beide Gleichungen identisch sind kann man daraus schließen das auch die zweite Gleichung nur mit Lama = 0 erfüllt ist und somit gilt lineare Unabhängigkeit für das vielfache

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Hallo

ja das ist richtig, aber es ist auch richtig, wenn jeder Vektor mit einem anderen μ multipliziert wird, das hatte ich gedacht.

Gruß lul