Wenn ich mich nicht irgendwo verrechnet habe ist dies ja schon eine rein imaginäre Zahl oder?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Die Polarkoordinaten von \( z_{1} \) und \( z_{2} \) seien \( \left(2 ; \frac{\pi}{6}\right) \) und \( \left(4 ; \frac{\pi}{3}\right) . \) Geben Sie Betrag und Winkel einer beliebigen komplexen Zahl \( z_{3} \) an, sodass das Produkt \( z_{1} \cdot z_{2} \cdot z_{3} \) rein imaginär ist.

Ansatz: Zuerst habe ich z1 und z2 in die "normale" Darstellung mit a+bi gebracht. Hier bin ich auf dieses Ergebnis gekommen: z1 = i+\( \sqrt{3} \) und z2= \( \sqrt{3} \)i +1 dann hab ich diese beiden miteinander multipliziert und bin jetzt bei 4i. Wenn ich mich nicht irgendwo verrechnet habe ist dies ja schon eine rein imaginäre Zahl oder? Sie hat jedenfalls keinen Realteil. z3 kann doch dann eigentlich irgendeine beliebige reelle Zahl sein. Stimmt das?

Danke für die Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Wenn du \(z_1\) und \(z_2\) miteinander multiplizierst, addieren sich deren Winkel \(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\). Daher liegt das Produkt auf der imaginären Achse. Also ist das Produkt \(z_1\cdot z_2\) bereits rein imaginär. Daher kann \(z_3\) jede beliebige reelle Zahl außer \(0\) sein. Deine Argumentation ist korrekt.