Welche beiden Grenzwerte erhält man hieraus durch Beschränkung auf rein imaginäre z?

Question

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe.

Bekannt ist lim_z→0 ((e^z-1)/z)=1 als Grenzwert in C. Welche beiden Grenzwerte erhält man hieraus durch Beschränkung auf rein imaginäre z?

Answer 1

Du sollst \(z=it\) mit \(t\in\mathbb{R}\) setzen. $$\lim_{t\to0}\frac{e^{it}-1}{it}=\text{?}$$ Danach in Real- und Imaginaerteil zerlegen.

Comments

Ich hab das umgewandelt zu 

lim (cos x + i sin x -1) / (cos x + i sin x) = lim 0 / 1 = 0

so richtig oder? 

Aber was meinst du jetzt genau mit in Real und Imaginärteil zerlegen? Und ich hab schließlich nur ein Grenzwert berechnet. Wie sollten denn die beiden Grenzwerte aussehen?

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Immer schoen sachte anfangen. Zuerst muss das \(\text{?}\) da oben bestimmt werden. Es ist ganz sicher nicht \(0\).

Und dann ist eben \(\displaystyle\frac{e^{it}-1}{it}\) in Real- und Imaginaerteil zu zerlegen.

\((\cos x + i \sin x -1) / (\cos x + i \sin x)\) ist es ganz bestimmt nicht.

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Ok also lim e^it - 1 / it = 1 + 0i (kann man doch so schreiben oder?)

Beschränkt man sich nur auf den Imaginärteil gilt dann: lim Im(e^it -1/it)=0

Das müsste doch jetzt aber so richtig sein oder? Wie man jetzt aber den Term nochmal extra in Real- und Imaginärteil zerlegt komm ich da nicht drauf was man genau machen soll. 

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Nachdem Du jetzt mit $$\lim_{t\to0}\,\operatorname{Im}\frac{e^{it}-1}{it}=0$$ und entsprechend $$\lim_{t\to0}\,\operatorname{Re}\frac{e^{it}-1}{it}=1$$ auf der richtigen Spur bist, musst Du eben den Real- und Imaginaerteil von \(\frac{e^{it}-1}{it}\) auch noch wirklich ausrechnen.

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Man kann den Real- und Imaginärteil berechnen, weil wir eine unbekannte (t) haben...

Oder gehört das t zu dem Realteil? Hat jemand einen Ansatz?

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\(t\) ist eine reelle Zahl. Gesucht ist eine Darstellung \(\frac{e^{it}-1}{it}=a(t)+ib(t)\), in der \(a(t)\) und \(b(t)\) reellwertige Funktionen von \(t\) sind.