Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate in den ersten drei Stunden.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in \( [0 ; 15] \) definierten Funktion \( V: t \rightarrow V(t) . \) Sie beschreibt modellhaft das sich durch Zu- und Abfluss ändernde Volumen von Wasser in einem. Becken in Abhàngigkeit von der Zeit. Dabei bezeichnen \( t \) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und \( V(t) \) das Volumen in Kubikmetern.
a) Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate in den ersten drei Stunden.

Text erkannt:

b) Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie anhand des Graphen der Funktion \( V \) näherungsweise die momentane Änderungsrate des
Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn.
\( V^{\prime}(2)=? \)

Text erkannt:

\( g: t \rightarrow 0,4 \cdot\left(2 t^{3}-39 t^{2}+180 t\right) \) beschrieben. Dabei ist \( t \) die seit Beobachtungsbeginn vergangene leit in Stunden und \( g(t) \) die momentane Anderungsrate des Volumens in \( m^{3} / h \).
c) Aufgabenstellung:
Berechnen Sie, für welche Werte von \( t \) die Funktionswerte von \( g \) positiv sind.

Bitte um Hilfe bei den Aufgaben mit rechenweg! Vielen Dank!

Answer 1

a)

Steigung durch die Punkte (0 | 100) und (3 | 600).

m = (600 - 100) / (3 - 0) = 500/3 = 166.7 m³/h

b)

V'(2) = 90 m³/h

Skizze

~plot~ -0.2407x^4+8.59x^3-100.6x^2+397.6x+100;90.58x+376.5;[[0|15|0|700]] ~plot~

c)

0.4·(2·t^3 - 39·t^2 + 180·t) = 0.4·t·(t - 12)·(2·t - 15) > 0 --> 0 < t < 7.5 ∨ t > 12

Comments

Vielen dank für die große Hilfe!! Nur würde ich gern ragen wie man auf die V'(2)=90  kommt ? Wie rechnet man das aus bzw. wie les ich das ab?

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Du zeichnest die Tangente ein wie du es bereits gemacht hast. Allerdings sehe ich das deine eingezeichnete Tangente zu steil ist. Wenn du es richtig machst dann sollte näherungsweise eine Steigung von 90 herauskommen.

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Vielen lieben Dank!

Ich hätte noch eine Frage wenn die Aufgabenstellung dazu noch wäre:

d) Berechnen Sie das Volumen des Wassers das sich 7,5 Stunden nach Beobachtunsbeginn im Becken befindet, wenn Beobachtungsbeginn 150 m^3 Wasser im Becken waren.

e) Berechnen Sie den Zeitpunkt/die Zeitpunkte an dem /denen sich das Volumen am schnellsten ändert?

Wie müsste ich die beiden Aufgaben im Zusammenhang von der Aufgabe oben lösen? Vielen herzlichen Dank für die ganze Hilfe!

Answer 2

a)  Berechne (V(3)-V(0)/  ( 3-0) =

             ( 600 - 100 ) / 3 = 500/3 ≈ 167 m^3 / h

b) Schätze die Steigung der Tangente V ' (2) = 130   m^3 / h

c) Berechne zunächst g(t)=0 <=> \( 0,4 \cdot\left(2 t^{3}-39 t^{2}+180 t\right) =0\)

          <=>  t=0 oder t=7,5  oder t=12 .

An denen Stellen kann es von pos nach negativ wechseln.

Also setze jeweils dazwischen Werte ein und du bekommst

g(1) >0   also von 0 bis 7,5 positive Werte

g(8) <0  also von 7,5 bis 12 negative Werte

g(15)>0  also nach 12 wieder positive Werte

Comments

Darf ich fragen wie man auf V'(2) kommt?

wie berechne ich das bzw. wie les ich das ab?

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Gehe vom Berührpunkt der Tangente eine Einheit waagerecht

nach rechts und schau wie weit du von dort nach oben gehen musst

um wieder auf der Tangente zu landen.

Recherchier mal "Steigungsdreieck"  z.B.

https://www.bing.com/videos/search?q=steigungsdreieck&docid=608050147023194103&mid=E6EAEA288B8601B940E9E6EAEA288B8601B940E9&view=detail&FORM=VIRE

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Vielen lieben Dank!
Ich hätte noch eine Frage wenn die Aufgabenstellung dazu noch wäre:
d) Berechnen Sie das Volumen des Wassers das sich 7,5 Stunden nach Beobachtunsbeginn im Becken befindet, wenn Beobachtungsbeginn 150 m^3 Wasser im Becken waren.


e) Berechnen Sie den Zeitpunkt/die Zeitpunkte an dem /denen sich das Volumen am schnellsten ändert?


Wie müsste ich die beiden Aufgaben im Zusammenhang von der Aufgabe oben lösen? Vielen herzlichen Dank für die ganze Hilfe!

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Berechnen Sie das Volumen des Wassers das sich 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet, wenn Beobachtungsbeginn 150 m3 Wasser im Becken waren.
g(t) ist die momentane Änd.rate des Volumens.

Also ist g(t) die Ableitung von der Volumenfunktion V(t)

Dann ist also V(t) = t^4/5 - 26t^3/5 + 36t^2 + C

Und das C gibt an, wieviel Wasser zum Zeitpunkt 0 schon drin ist.

Berechnen Sie den Zeitpunkt/die Zeitpunkte an dem /denen sich das Volumen am schnellsten ändert?  Extremwerte von g(t) bestimmen.

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Also mein g(t) = 0,4*(2t^3-39t^2+180t)

Wie kommst du auf das V(t)?

da wenn ich g(t) 1. Ableite bekomme ich einen andere Funktion raus wie du :-S

bei mir ist die 1 Ableitung von g'(t)= 2,4x^2-31,2x+72?

Kannst du mir bitte nochmal erklären wie du V(t) berechnet hast.. DANKE

und bei der e) habe ich:

EXtrempunkte (3;97.2) & (10,-40) was wäre da die Antwort?