Berechnen Sie den Wert der folgenden Reihen:

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Wert der folgenden Reihen:
\( \begin{array}{llll} \text { (a) } \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} & \text { (b) } \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{2+(-1)^{k}}{3^{k}} & \text { (c) } \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{2+(-1)^{k}}{(k+1) !} \end{array} \)
Hinweis: Für Aufgabenteil (c) dürfen Sie folgende Beziehung verwenden:
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k !}=e^{-1} \)

Problem/Ansatz:

Ansätze geben?

Answer 1

Führe bei a) eine Partialbruchzerlegung durch, das gibt eine schöne Teleskopsumme.

Zerlege b) in zwei Teilsummen (getrennt nach geraden und ungeraden Werten von k.

Du erhältst zwei geometrische Reihen.

Zerlege bei c) in \( \frac{2}{(k+1)!} \) +  \( \frac{(-1)^k}{(k+1)!} \), wobei du (-1)^k auch als \(-(-1)^{k+1}\) schreiben kannst, um den Hinweis mit einer kleinen Verschiebung nutzen zu können.

Comments

Die a und b habe ich hinbekommen, aber ich hänge noch an der c. Kannst du mir vielleicht noch ein paar mehr Infos geben?